FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 93
A equação dada, nas novas coordenadas (r, s), tem o aspecto seguinte:
isto é:
0 = G(r, s, w, z)
= F ◦ φ (2) (r, s, w, z)
= F
(r, e s , we s , w 2 e s + ze s)
= w 2 e s + ze s − 2es
r 2
(z + w 2 ) r 2 − 2 = (s ′′ + (s ′ ) 2 ) r 2 − 2 = 0
que não contem dependência explícita da variável s, como aliás seria de esperar uma vez que
∂
∂s é simetria pontual desta equação. Como s′ = w, a equação pode escrever-se na forma:
(w ′ + w 2 ) r 2 = 2 (2.2.56)
que é uma ODE de primeira ordem. Portanto a simetria pontual permitiu “baixar” a ordem
da equação dada, de uma unidade. Calculemos agora a expressão da outra simetria pontual
ξ 2 = x ∂
∂x , nas coordenadas (r, s). Será um campo de vectores da forma η 2(r, s) = a(r, s) ∂ ∂r +
b(r, s) ∂ ∂s , tal que φ ∗(η 2 ) = ξ 2 :
isto é:
[
1 0
0 e s ] [
a
b
O prolongamento a J 2 = IR 4 rswz é:
]
=
[
x = r
0
]
η 2 = r ∂ ∂r
⇒
η (2)
2 = r ∂ ∂r − w ∂
∂w − 2z ∂ ∂z
{
a = r
b = 0
cuja projecção em IR 3 rwz, onde “vive” a equação reduzida (2.2.56), é dada pela mesma fórmula.
Note que ζ = r ∂ ∂r − w ∂
∂w ∈ X(IR2 rw), é tal que ζ (1) = η (2)
2 . De facto, este campo ζ é simetria
pontual da equação reduzida (2.2.56). Com efeito, com G(r, w, z) = (z + w 2 ) r 2 − 2:
ζ (1) G =
(
r ∂ ∂r − w ∂
∂w − 2z ∂ ) (
(z + w 2 ) r 2 − 2)
= 0
∂z
Podemos por isso integrar a equação reduzida utilizando por exemplo um factor integrante.
Concluindo, a ODE de segunda ordem dada, que admite uma álgebra de Lie abeliana, de
dimensão 2, de simetrias pontuais, é integrável através da integração de uma ODE de primeira
ordem (obtida por redução de ordem), seguida de uma quadratura.
• Exemplo 2.2.8 ... Consideremos a equação de segunda ordem:
u ′′ + u ′ − u x = 0
Esta equação admite as simetrias infinitesimais pontuais:
ξ 1 = x ∂
∂u , e ξ 2 = u ∂
∂u