FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 102
onde as derivadas parciais F p e F q , devem ser avaliadas em (1, 1, 1, p, q). Neste caso, F = p 2 q − 1,
donde F p = 2pq, F q = p 2 e:
K(P o ) :
{
du = p dx + q dy, onde p e q devem satisfazer p 2 q − 1 = 0
dx
2pq
= dy
p 2
(ii). A curva “inicial” γ é dada paramètricamente por:
γ(s) = (x(s) = s, y(s) = 0, u(s) = s)
As equações que permitem completar γ numa faixa de elementos característicos, i.e., que permitem
calcular p = p(s) e q = q(s), são (pondo ′ = d/ds):
{
u ′ (s) − x ′ (s) p − y ′ (s) q = 0
F (x(s), y(s), u(s); p, q) = 0
⇒
{
1 − p = 0
p 2 q − 1 = 0
donde se deduz:
p = p(s) ≡ 1, q = q(s) ≡ 1
e portanto a faixa inicial de elementos característicos é:
˜γ(s) = (x = s, y = 0, u = s, p = 1, q = 1)
A condição (1.6.19), é válida ∀s, já que:
x ′ (s) F q (·) − y ′ (s) F p (·) = p 2 = 1 ≠ 0,
∀s
As equações características (1.6.10), são (pondo agora ′ = d/dτ):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ′ = F p
y ′ = F q
u ′ = p F p + q F q ⇒
q ′ = −F y − q F u
p ′ = −F x − p F u
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ′ = 2pq
y ′ = p 2
u ′ = 3qp 2
p ′ = 0
q ′ = 0
A curva inicial ˜γ, corresponde a τ = 0. Como p e q são constantes ao longo das características,
temos que:
p(s, τ) = p(s, 0) = 1, q(s, τ) = q(s, 0) = 1 (2.3.1)
Resolvendo agora as equações características, para x, y e u, usando (1.6.21) e (2.3.1), obtemos:
x = x(s, τ) = 2τ + s, y = y(s, τ) = τ, u = u(s, τ) = 3τ + s
Invertendo as duas primeiras equações, obtemos τ = y, s = x − 2y, e inserindo na terceira, obtemos
finalmente a solução:
u = x + y
• • Exercício 2.3.8 ... Resolver o problema de Cauchy:
(PC)...
{
ut + u 2 x = t
u(x, 0) = 0
Solução: u = t2 2 .