FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy = 0 6
Se θ é uma 1-forma no aberto U ⊆ IR 2 , e se µ : U → IR é uma função que nunca se anula em
U, então é fácil ver que as equações θ = 0 e µ θ = 0 têm as mesmas curvas integrais. Quando µθ
é exacta, diz-se que µ é um factor integrante para θ.
Seja θ = P (x, y) dx + Q(x, y) dy uma 1-forma de classe C ∞ no aberto U ⊆ IR 2 , e µ : U → IR
um factor integrante para θ. Por definição µθ é exacta, logo fechada, e portanto (µP ) y = (µQ) x ,
isto é:
P µ y − Q µ x + (P y − Q x ) µ = 0 (1.1.13)
que é uma PDE quasi-linear de primeira ordem para a função µ = µ(x, y), como veremos em
breve. Aplicando o Lema de Poincaré, quando U é um rectângulo em IR 2 , podemos afirmar que se
µ : U → IR é uma função de classe C ∞ , que nunca se anula em U, e que satisfaz a equação (1.1.13),
então µ é um factor integrante para θ. Na prática, é muitas vezes vezes possível encontrar soluções
para a equação (1.1.13), da forma µ = µ(x), µ = µ(y), µ = µ(xy), etc...
• Exemplo 1.1.2 ... Encontrar a solução geral da equação:
y 2
2 + 2yex + (y + e x ) dy
dx = 0
O problema é equivalente a calcular a solução geral da equação:
θ = ( y2
2 + 2yex ) dx + (y + e x ) dy = 0
} {{ }
} {{ }
Q(x,y)
P (x,y)
θ não é exacta, já que:
P y = y + 2e x ≠ e x = Q x
Tentemos encontrar um factor integrante da forma µ = µ(x). Neste caso a equação (1.1.13),
reduz-se à equação diferencial ordinária:
−Qµ ′ + (P y − Q x )µ = 0
onde µ ′ = dµ/dx, isto é:
em que uma das soluções é:
µ ′ = µ
µ(x) = e x
Portanto µ(x) = e x é um factor integrante de θ, o que significa que e x θ é exacta, isto é, existe
uma função f, tal que df = e x θ. Portanto:
f x = e x (
y
2
2 + 2yex )
e f y = e x (y + e x )
Integrando a primeira equação em ordem a x, com y fixo, vem que:
f(x, y) = y2
2 ex + ye 2x + g(y)
Derivando esta última, em ordem a y e usando a segunda equação, obtemos:
f y = ye x + e 2x + g ′ (y) = e x (y + e x )