FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 37
1.7 Apêndice
1.7.1 Grupos a um parâmetro de difeomorfismos e geradores infinitesimais
Um fluxo (global) em IR n , é uma aplicação C ∞ :
que verifica as duas condições seguintes:
Φ : IR × IR n −→ IR n (1.7.1)
Φ(0, x) = x
Φ(τ, Φ(η, x)) = Φ(τ + η, x) (1.7.2)
∀τ, η ∈ IR, ∀x ∈ IR n . Alternativamente um fluxo Φ em IR n , pode ser visto como um grupo a um
parâmetro de difeomorfismos de IR n , isto é, como um homomorfismo do grupo aditivo (IR, +)
no grupo Diff(IR n ) dos difeomorfismos de IR n :
que verifica as condições seguintes:
Φ : IR −→ Diff(IR n )
τ ↦−→ Φ τ
Φ 0 = Id IR n Φ τ ◦ Φ η = Φ τ+η Φ −τ = Φ −1
τ (1.7.3)
Para cada τ ∈ IR fixo, o difeomorfismo Φ τ : IR n → IR n diz-se a “aplicação de avanço no tempo τ”.
Para cada x ∈ IR n , a curva:
α x : IR −→ IR n
τ ↦−→ α x (τ)
def
= Φ τ (x)
(1.7.4)
chama-se a linha de fluxo ou curva integral que passa em x. A imagem α x (IR) ⊂ IR n diz-se
a órbita de x.
Por cada ponto x ∈ IR n passa uma única órbita. De facto a relação x ∼ y ⇔ y = Φ τ (x), para
algum τ ∈ IR, é uma relação de equivalência em IR n , cujas classes de equivalência são exactamente
as órbitas do fluxo. Por outro lado, é possível mostrar que uma linha de fluxo apenas pode ser de
um e um só dos seguintes tipos:
• uma imersão injectiva.
• uma imersão periódica, i.e., α x : IR → IR n é imersão e existe algum p > 0 tal que α x (τ +p) =
α x (η), ∀τ ∈ IR.
• constante. Neste caso α x (τ) ≡ x, ∀τ ∈ IR diz-se um ponto fixo.
Quando temos um fluxo em IR n e U é um aberto de IR n , em geral as linhas de fluxo dos pontos
de U não permanecem em U quando o “tempo” τ avança. No entanto, por continuidade, podemos
afirmar que dado x ∈ U, a linha de fluxo α x deve permanecer em U durante algum pequeno
intervalo de tempo I x ⊂ IR com 0 ∈ I x . Isto conduz-nos à seguinte definição:
• Definição 1.7.1 ... Um fluxo local ou um grupo local a um parâmetro de difeomorfismos
em IR n , é uma aplicação C ∞ :
Φ : O ⊆ IR × IR n −→ IR n (1.7.5)
definida num aberto O ⊆ IR × IR n , que verifica as condições seguintes (ver a figura 1.7):