FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 84
então, calculando a partir das equações (2.2.9), podemos deduzir que ξ (2) é dado por (com as
notações p = u ′ e q = u ′′ ):
ξ (2) = a(x, u) ∂ ∂
+ b(x, u)
∂x ∂u + c(x, u, u′ ) ∂
∂u ′ + d(x, u, u′ , u ′′ ) ∂
∂u ′′ (2.2.10)
onde:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
c(x, u, u ′ ) = b x + (b u − a x ) u ′ − a u (u ′ ) 2
d(x, u, u ′ , u ′′ ) = b xx + (2b xu − a xx ) u ′ + (b uu − 2a xu ) (u ′ ) 2
−a uu (u ′ ) 3 + (b u − 2a x ) u ′′ − 3a u u ′ u ′′ (2.2.11)
2.2.1 Invariantes Diferenciais
Seja Φ τ um grupo (local ou global) a um parâmetro de difeomorfismos de IR 2 xu, e ξ ∈ X(IR 2 xu) o
respectivo gerador infinitesimal.
Definição 2.2.1 ... (i). Uma função F : IR 2 xu → IR diz-se um invariante (de ordem 0), do
grupo Φ τ , se:
F (Φ τ (x)) = F (x), ∀x ∈ IR 2 , ∀τ (2.2.12)
isto é, F é constante ao longo de cada órbita do grupo.
(ii). Uma função F : J 1 (IR; IR) → IR diz-se um invariante diferencial de ordem 1, do grupo
Φ τ , se:
( )
F (c) = F (c), ∀c ∈ J 1 (IR; IR), ∀τ (2.2.13)
Φ (1)
τ
(iii). Uma função F : J 2 (IR; IR) → IR diz-se um invariante diferencial de ordem 2, do
grupo Φ τ , se:
( )
F (c) = F (c), ∀c ∈ J 2 (IR; IR), ∀τ (2.2.14)
Φ (2)
τ
Se:
a tradução infinitesimal das definições anteriores é a seguinte:
ξ = a(x, u) ∂
∂
∂x
+ b(x, u)
∂u
(2.2.15)
(i). Uma função F : IR 2 xu → IR é um invariante (de ordem 0), do grupo Φ τ , sse:
ξF = a ∂F
∂x + b ∂F
∂u = 0 (2.2.16)
(ii). Uma função F : J 1 (IR; IR) → IR é um invariante diferencial de ordem 1, do grupo Φ τ ,
sse:
ξ (1) F = a ∂F
∂x + b ∂F
∂u + c ∂F
∂u
= 0 (2.2.17)
′
(iii). Uma função F : J 2 (IR; IR) → IR é um invariante diferencial de ordem 2, do grupo
Φ τ , sse:
ξ (2) F = a ∂F
∂x + b ∂F
∂u + c ∂F
∂u ′ + d ∂F
∂u ′′ = 0 (2.2.18)