FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 95
A equação dada, nas novas coordenadas (r, s), tem o aspecto seguinte:
0 = G(r, s, w, z)
= F ◦ φ (2) (r, s, w, z)
= F (r, rs, s + wr, 2w + rz)
= 2w + rz + s + wr − rs
r
= 2w + rz + rw
isto é:
(2 + r)w + rz = (2 + r)s ′ + rs ′′ = 0
que não contem dependência explícita da variável s, como aliás seria de esperar, uma vez
que η 1 = ∂ ∂s é simetria pontual desta equação. Como s′ = w, a equação pode escrever-se na
forma:
(2 + r)w + rw ′ = 0 (2.2.59)
que é uma ODE de primeira ordem. Portanto a simetria pontual permitiu “baixar” a ordem
da equação dada, de uma unidade.
Calculemos agora a expressão da outra simetria pontual ξ 2 = u ∂
∂u
, nas coordenadas (r, s).
Será um campo de vectores da forma η 2 (r, s) = a(r, s) ∂ ∂r + b(r, s) ∂ ∂s , tal que φ ∗(η 2 ) = ξ 2 :
isto é:
[ ] [ ] [
1 0 a
=
s r b
0
u = rs
]
⇒
{
a = 0
as + rb = rs
η 2 = s ∂ ∂s
⇒
{
a = 0
b = s
Note que:
[ ∂
[η 1 , η 2 ] =
∂s ∂s]
, s ∂ = ∂ ∂s
como aliás seria de esperar.
O prolongamento de η 2 a J 2 = IR 4 rswz é:
η (2)
2 = s ∂ ∂s + w ∂
∂w + z ∂ ∂z
cuja projecção em IR 3 rwz, onde “vive” a equação reduzida (2.2.56), é dada por:
w ∂
∂w + z ∂ ∂z
Note que ζ = w ∂
∂w ∈ X(IR2 rw), é tal que ζ (1) = w ∂
∂w + z ∂ ∂z
. De facto, este campo ζ é simetria
pontual da equação reduzida (2.2.59). Com efeito, com G(r, w, z) = (2 + r)w + rz, vem que:
ζ (1) G =
(
w ∂
∂w + z ∂ )
((2 + r)w + rz) = G
∂z
Podemos por isso integrar a equação reduzida utilizando por exemplo um factor integrante.
Desta vez, a ODE de segunda ordem dada, admite uma álgebra de Lie solúvel, de dimensão
2, de simetrias pontuais, e é ainda integrável, através da integração de uma ODE de primeira
ordem (obtida por redução de ordem), seguida de uma quadratura.