FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 74
que, após substituirmos X e U pelos valores já encontrados, nos permite obter para P o
seguinte valor:
P = xp2 − x − 2up
up 2 − u + 2xp
Obtemos assim a transformação:
Φ : (x, u, p) ↦−→
(
X =
(xp − u)p
1 + p 2 , U = xp − u
1 + p 2 , P = xp2 − x − 2up
up 2 − u + 2xp
)
(2.1.41)
2.1.4 Transformações de Contacto Infinitesimais ou Campos de Contacto
Uma transformação de contacto infinitesimal ou campo de contacto, é um campo de
vectores X ∈ X(J 1 (IR; IR)), tal que:
L X ω = λ ω, para alguma função λ ∈ C ∞ (J 1 (IR; IR)) (2.1.42)
X diz-se ainda uma simetria infinitesimal da distribuição de contacto Π. Suponhamos que, em
coordenadas canónicas (x, u, p) para J 1 (IR; IR), X é dado por:
X = α ∂
∂x + β ∂
∂u + γ ∂ ∂p
A condição (2.1.42), traduz-se então nas igualdades seguintes:
λ (du − p dx) = λ ω
donde se deduz que:
⎧
⎪⎨ β p − p α p = 0
β u − p α u = λ
⎪⎩ β x − γ − p α x = −pλ
= L X ω
= L X (du − p dx)
= d(Xu) − (Xp) dx − p d(Xx)
= dβ − γ dx − p dα
= (β x − γ − p α x ) dx + (β u − p α u ) du + (β p − p α p ) dp
isto é:
{
βp − p α p = 0
β x − γ − p α x = −p(β u − p α u )
(2.1.43)
(2.1.44)
Portanto, os campos de contacto são campos de vectores X da forma (2.1.43), onde α e β são duas
funções arbitrárias que satisfazem a relação β p −p α p = 0, e γ é dada por γ = β x +p β u −p α x −p 2 α u .
Consideremos agora a função:
f
def
= ω(X)
(
= (du − p dx) α ∂
∂x + β ∂
∂u + γ ∂ )
∂p
= β − p α (2.1.45)
Temos então que f p = β p − pα p − α, e para que seja válida a relação β p − p α p = 0, basta pôr
α = −f p . Virá então que β = f − p f p e γ = f x + p f u , isto é, o campo de contacto X = X f é dado
por:
∂
X f = −f p ∂x + (f − p f p) ∂
∂u + (f x + p f u ) ∂ ∂p
(2.1.46)
onde f é a chamada função geradora de X = X f .