FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.2. PDE de primeira ordem linear P u x + Q u y = R u + S. 12
A curva γ é, neste caso o eixo t = 0, que parametrizamos por:
O campo característico (1.2.2), é:
γ(s) = (s, 0)
Z(x, t) = a ∂
∂x + ∂ ∂t
que é sempre transversal a γ. As curvas características α(τ) = (x(τ), t(τ)) são as soluções
de: {
x ′ (τ) = a
t ′ (τ) = 1
A curva característica que, no instante inicial τ = 0, passa em γ(s) = (s, 0), é portanto:
α(τ; s) = (x(τ; s) = aτ + s, t(τ; s) = τ)
Note que, numa vizinhança da curva γ (que é o eixo dos xx, neste caso), s e τ podem ser
adoptados como coordenadas locais.
Como a equação é homogénea, o valor de u vai ser constante ao longo de α:
(u ◦ α)(τ) = u(at + s, t) ≡ u(α(0)) = u(s, 0) = f(s)
Regressando às coordenadas iniciais x e y (pondo x = at + s ⇒ s = x − at), obtemos:
u(x, t) = f(x − at)
Se interpretamos a função inicial u(x, 0) = f(x), como sendo uma onda no instante t = 0, a
solução u(x, t) = f(x − at), mostra que um ponto x, para o qual x − at ≡ constante, ocupa
sempre a mesma posição sobre a onda. Se a > 0, esse ponto x move-se para a direita com
velocidade dx/dt = a. Como x é um ponto típico da onda, isto significa que toda a onda
inicial f(x) se move para a direita, sem se deformar, com velocidade dx/dt = a > 0, (se a < 0,
a onda mover-se-á para a esquerda).
Como u se mantem constante ao longo de cada curva característica x − at ≡ s, os dados
iniciais são transmitidos ao longo dessas características, com velocidade a.
• Exemplo 1.2.2 ... Resolver o P.V.I.:
y u x + u y = x, u(x, 0) = x 2
Aqui P = y, Q = 1, R = 0 e S = x. A curva γ é, neste caso o eixo y = 0, que parametrizamos
por:
γ(s) = (s, 0)
O campo característico é:
Z(x, y) = y ∂
∂x + ∂ ∂y
que é sempre transversal a γ, e as curvas características α(τ) = (x(τ), y(τ)) são as soluções
de: {
x ′ (τ) = y(τ)
y ′ (τ) = 1