FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.3. PDE homogénea de primeira ordem Xu = 0. 15
cujo campo característico é:
X = X ∂
∂x + Y ∂ ∂y + Z ∂ ∂z
O sistema (1.3.4) tem, neste caso, o aspecto seguinte:
dx
X(x, y, z) =
dy
y(x, y, z) =
dz
Z(x, y, z)
(1.3.9)
Suponhamos que v = v(x, y, z) e w = w(x, y, z) são duas soluções (isto é, dois integrais primeiros do
campo X) funcionalmente independentes desse sistema, e que u = u(x, y, z) é uma terceira solução.
Então o sistema de 3 equações homogéneas:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
X u x + Y u y + Z u z = 0
X v x + Y v y + Z v z = 0
X w x + Y w y + Z w z = 0
admite uma solução não trivial (X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0) e portanto o seu determinante é nulo:
∣ u x u y u ∣∣∣∣∣∣ z
∂(u, v, w)
v x v y v z =
∣
∂(x, y, z) = 0
w x w y w z
No entanto como essa matriz tem característica 2 (as duas últimas linhas são linearmente independentes,
já que v e w são funcionalmente independentes), cocluímos, pelo teorema da função
implícita, que u = F (v(x, y, z), w(x, y, z)), para alguma função F = F (v, w). As curvas solução
do sistema (1.3.9), formam (localmente) uma congruência de curvas em IR 3 , isto é, uma família de
curvas que depende de dois parâmetros.
• Exemplo 1.3.1 ... Consideremos a equação:
Da primeira equação dx x
dx
x = dy
y =
= dy
y
, deduzimos que:
y
x = c 1
dz
xy(z 2 + 1)
e portanto a função u 1 (x, y, z) = y x
, é um integral primeiro da equação dada, já que satisfaz
a PDE:
x u x + y u y + xy(z 2 + 1) u z = 0 (1.3.10)
Para obter um segundo integral primeiro, substituimos y/x = c 1 , na equação :
para obter:
cuja integração dá:
Substituindo c 1 = y/x, obtemos:
dx
x =
dx
x =
dz
xy(z 2 + 1)
dz
c 1 x 2 (z 2 + 1)
c 1
x 2
2 = arc tg z + c 2
1
2 xy − arc tg z = c 2
É fácil verificar que u 2 (x, y, z) = 1 2
xy − arc tg z verifica a PDE (1.3.10), e que, além disso, é
funcionalmente independente de u 1 .