FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.5. PDE quasi-linear de primeira ordem A u x + B u y = C. 24
• Exemplo 1.5.5 ... Uma lei de conservação é uma equação quasi-linear do tipo:
com condição inicial:
A(u) u x + u t = 0 (1.5.8)
u(x, 0) = φ(x) (1.5.9)
(relativamente às notações anteriores, pusemos y = t, como é mais usual, o que nos permite
interpretar a solução u(x, t) como uma onda, cuja configuração no instante t, é dada pelo
gráfico de x ↦→ u(x, t) ...).
Geomètricamente, o que se pretende é construir uma superfície integral S = gr u, da equação
dada, que passe pela curva:
˜γ(s) = (s, 0, φ(s)), s ∈ IR
Como vimos essa superfície será construída como a reunião de todas as curvas características
C a,b que passam nos pontos de ˜γ. Essas curvas são dadas pelas equações (1.5.4), que neste
caso têm a forma:
dx
A(u) = dt
1 = du 0
e são, por isso, definidas implìcitamente por:
{
u ≡ a
C a,b :
x − A(u) t ≡ b
Note que C a,b é uma recta no plano u = a, paralela à recta x − A(a) t = b no plano u = 0.
Para que uma curva característica contenha o ponto ˜γ(s) = (s, 0, φ(s)), deveremos ter:
{
a = φ(s)
b = s − A(φ(s)) 0 = s
isto é, essa curva característica C s é dada implìcitamente pelas equações:
{
u ≡ φ(s)
C s :
x − A(u) t ≡ s
Finalmente, para obter a superfície integral S = gr u, da equação dada, que passe pela curva
˜γ(s) = (s, 0, φ(s)), eliminamos s nas equações anteriores. Vem então:
u = φ(x − A(u) t)
que determina implìcitamente a solução procurada.
Note que cada ponto da recta t = 0, em IR 2 x,t, é não característico para o problema de Cauchy
(1.5.8), (1.5.9), e, portanto, para |t| pequeno a solução desse problema de Cauchy é definida
implìcitamente por:
def
Φ(x, t, u) = u − φ(x − A(u) t) = 0 (1.5.10)
Se:
Φ u = 1 + φ ′ (x − A(u) t) A ′ (u) t ≠ 0 (1.5.11)
a equação (1.5.10) define implìcita e localmente uma única superfície integral dada pelo gráfico
de u = u(x, t). Para as derivadas parciais de u, obtemos:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u x = − Φ x
Φ u
=
φ ′ (x−A(u) t)
1+φ ′ (x−A(u) t) A ′ (u) t
u t = − Φ t
Φ u
= −φ′ (x−A(u) t) A(u)
1+φ ′ (x−A(u) t) A ′ (u) t
(1.5.12)