FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 73
Para calcular P , usamos a equação (2.1.37), isto é:
Obtemos assim a transformação:
H X + P H U = x + P u = 0, isto é: P = − x u
Φ : (x, u, p) ↦−→
(
X =
p
px − u , U = − 1
)
px − u , P = −x u
(2.1.39)
(2.1.40)
Esta é a transformação de contacto, no plano (x, u), dada por polares recíprocas relativamente
ao círculo x 2 + u 2 = 1. De facto, a cada ponto m = (x, u) está associada a respectiva
recta polar P m , relativamente ao círculo x 2 + u 2 = 1, dada por:
P m : x α + u β − 1 = 0
onde (α, β) são coordenadas correntes sobre essa recta. Consideremos agora dois pontos
m = (x, u) e M = (X, U), conjugados relativamente ao círculo x 2 + u 2 = 1, isto é, tais que:
xX + uU − 1 = 0
Temos então que M ∈ P m e m ∈ P M , e a transformação por polares recíprocas, relativamente
ao círculo x 2 + u 2 = 1, é:
(m, P M ) ↦−→ (M, P m )
O declive P da recta polar P m é P = −x/u, enquanto que o declive p da recta polar P M é
p = −X/U. Portanto:
X + p U = 0 e x + P u = 0
que conjuntamente com xX +uU −1 = 0, constituem o sistema de equações (2.1.38) e (2.1.39),
(ver a figura 2.13).
Figure 2.13: Transformação dada por polares recíprocas.
• Exemplo 2.1.11 - Transformação pedal ... Neste caso usamos a equação directriz:
O sistema (2.1.36) é neste caso:
H(x, u, X, U) = X 2 + U 2 − xX − uU = 0
{ {
H (x, u; X, U) = X 2 + U 2 − xX − uU = 0
X =
(xp−u)p
H x + p H u = −X − p U = 0 , isto é: 1+p 2
U = xp−u
1+p 2
Para calcular P , usamos a equação (2.1.37), isto é:
H X + P H U = 2X + P (2U − u) = 0