FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 71
• J (m; α) tem característica 0, ∀(m = (x, u), α). Neste caso X e U, em (2.1.32) não dependem
de α, e Φ transforma toda a 1-faixa F m , de suporte fixo m, numa 1-faixa Φ(F m ), também de
def
suporte fixo π(Φ(m)) = φ(m) = (X(m), U(m)). Como:
λ(du − p dx) = Φ ∗ (du − p dx)
= dU − P dX
= (U x dx + U u du) − P (X x dx + X u du)
= (U x − P X x ) dx + (U u − P X u ) du
vem que U u − P X u = λ e U x − P X x = −λp, e portanto:
P = U x + p U u
X x + p X u
o que significa que P está relacionado homogràficamente com p, e Φ, é uma transformação
pontual: Φ = φ (1) (ver o exemplo 2.1.6).
• J (m; α) tem característica 1, ∀(m = (x, u), α). Neste caso, a projecção da 1-faixa Φ(F m ), no
plano de configuração, é uma curva imersa, parametrizada por:
π ◦ Φ ◦ F m : α ↦−→ (X = X(m; α), U = U(m; α))
(não esqueça que m = (x, u) está fixo), que descrevemos (localmente) como curva de nível de
uma função do tipo:
H(x, u; X, U) = 0
(por eliminação do parâmetro α, com x e u fixos). Permitindo agora que o suporte m = (x, u)
de F m varie, obtemos uma família a 2 parâmetros (x, u) (eventualmente ligados...), de curvas
regulares Γ m = Γ (x,u) , no plano de configuração (ver a figura 2.12). Cada curva Γ m = Γ (x,u)
dessa família será descrita por uma equação do tipo:
Γ m = Γ (x,u) : H(x, u; X, U) = 0 (2.1.34)
em X, Y , que se chama a equação directriz da transformação de contacto Φ, que gera as
curvas referidas. Por construção, os elementos de contacto da curva Γ m = Γ (x,u) , são os
transformados por Φ, dos elementos de contacto de suporte fixo m = (x, u) (ver a figura
2.12).
Figure 2.12: Equação directriz H(x, u; X, U) = 0.
O problema agora consiste em deduzir relações entre H e as funções X, U, P , que definem Φ,
e que nos permitam reconstruir Φ a partir de H.
A ideia geométrica é a seguinte: consideremos um elemento de contacto c = (m, l), constituído
pelo ponto m e pela recta l ∈ T m IR 2 xu, e consideremos uma curva regular e, no plano IR 2 xu,
que seja tangente a l, em m.