FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 69
que não contem derivadas, e por isso está automàticamente resolvida. Note que a equação
U = f(X) deve ser interpretada, no presente contexto, como uma equação diferencial do tipo
F (X, U, P ) = 0, onde P é arbitrário. As soluções de U = f(X) são as rectas verticais P ↦→
(a, f(a), P ), “por cima” de cada ponto (a, f(a)) do gráfico de f, e podem ser interpretadas
como 1-faixas de contacto, de suporte A = (a, f(a))!
Por outras palavras, para cada X = a fixo, a curva parametrizada:
F a : P ↦−→ (a, f(a), P )
é uma solução generalizada da equação (2.1.27). Com efeito, essa curva está contida em
{(X, U, P ) : U − f(X) = 0}, e Fa(ω) ∗ = Fa(dU ∗ − P dX) = 0, uma vez que X ≡ a está fixo.
F a é a 1-faixa de contacto, de suporte A = (a, f(a)).
Sob a transformação de Legendre, cada uma destas soluções transforma-se numa solução da
equação de Clairaut:
φ a
def
= L −1 ◦ F a : P ↦−→ (x = P, u = aP − f(a), p = a)
cujo suporte é a recta u = ax − f(a), no plano de configuração IR 2 xu.
Desta forma obtemos uma família a 1 parâmetro {φ a } a∈IR de soluções da equação de Clairaut:
{u = ax − f(a)} a∈IR (2.1.28)
a que se chama o integral completo da equação de Clairaut. A envolvente desta família a
1 parâmetro de rectas, obtem-se eliminando o parâmetro a, nas equações:
{
u − ax + f(a) = 0
−x + f ′ (2.1.29)
(a) = 0
Suponhamos por exemplo que f(p) = 1 2 p2 . Então:
{
u − ax + a 2 /2 = 0
−x + a = 0
⇒
{
a = x
u = x 2 /2
⇒ u = x 2 /2
e a envolvente é a parábola u = x 2 /2, que fornece a chamada solução singular da equação
de Clairaut. Note que a solução clássica u = ax − a 2 /2 é a recta tangente à solução singular
u = x 2 /2, no ponto (a, a 2 /2) (ver a figura 2.10)!
Figure 2.10: Transformação de Legendre e a equação de Clairaut.
• Exemplo 2.1.9 - Dilatações ... Para cada λ ∈ IR definem-se através de:
D λ : (x, u, p) ↦−→
(
x +
)
λp
√ , u − λ
√ , p 1 + p 2 1 + p 2
(2.1.30)