FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 85
onde em (2.2.17) e (2.2.18), pusemos:
c = c(x, u, u ′ )
= b x + (b u − a x ) u ′ − a u (u ′ ) 2
= D x b − u ′ D x a (2.2.19)
e:
d = d(x, u, u ′ , u ′′ )
= b xx + (2b xu − a xx ) u ′ + (b uu − 2a xu ) (u ′ ) 2
−a uu (u ′ ) 3 + (b u − 2a x ) u ′′ − 3a u u ′ u ′′
= D x c − u ′′ D x a (2.2.20)
Em (2.2.19) introduzimos o operador de derivação total D x , definido por:
de tal forma que:
D x
def
= ∂
∂x + u′ ∂
∂u + u′′ ∂
∂u
(2.2.21)
′
D x a = a x + u ′ a u
uma vez que a = a(x, u), b = b(x, u) e c = c(x, u, u ′ ). Portanto:
Note que:
D x b = b x + u ′ b u
D x c = c x + u ′ c u + u ′′ c u ′ (2.2.22)
ξ
{ }} {
ξ (2) = a ∂
∂x + b ∂
∂u + [ D x b − u ′ D x a ] ∂
} {{ } ∂u ′ + [ D x c − u ′′ D x a ]
} {{ }
ξ (1)
} {{
c
}
d
[
D x ,
[
D x ,
]
∂
∂u ′
]
∂
∂u ′′
= − ∂
∂u
= − ∂
∂u ′
∂
∂u ′′ (2.2.23)
e portanto, após um cálculo fastidioso, obtemos que:
[ξ (2) , D x
]
= −(D x a) D x − (D x d) ∂
∂u ′′ (2.2.24)
Lie indicou um método engenhoso para calcular um invariante diferencial de ordem 2, a partir
do conhecimento de um invariante f(x, u) e de um invariante diferencial g(x, u, u ′ ), de ordem 1.
Com efeito, como ξ (2) f = 0 = ξ (2) g, e usando (2.2.24), vem que:
( )
ξ (2) Dx g
D x f
{( )
= (D x f) −2 ξ (2) D x g
= (D x f) −2 {([ ξ (2) , D x
]
g
( ) }
D x f − ξ (2) D x f D x g
)
] ) }
D x f −
([ξ (2) , D x f D x g
) }
D x f −
{((
(D x f) −2 −(D x a) D x − (D x d) ∂ ) )
∂u ′′ f
= (D x f) −2 {((
−(D x a) D x − (D x d) ∂
∂u ′′ )
g
= 0
}
D x g