FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 96
2.3 Exercícios e exemplos suplementares
• • Exercício 2.3.1 ... Considere a equação:
– (i). Mostre que ξ = x ∂
∂x − u ∂
∂u
(E)... u ′ + u 2 = 2 x 2
é simetria infinitesimal de (E).
– (ii). Calcule o grupo local a um parâmetro Φ τ = Φ ξ τ , e mostre directamente que ele é
simetria (finita) de (E).
– (iii). Calcule um factor integrante e integre a equação dada.
– (iv). Integre agora (E), usando “coordenadas canónicas” (relativas a ξ.)
Resolução ...
(i). Reescrevendo (E) em forma de Pfaff:
θ = du + (u 2 − 2/x 2 ) dx = 0
sabemos que Z = − ∂
∂x + (u2 − 2/u 2 ) ∂
∂u
gera a distribuiçãode linhas correspondente, e como:
[
[ξ, Z] = x ∂
∂x − u ∂
∂u , − ∂
∂x + (u2 − 2/x 2 ) ∂ ]
= −Z
∂u
ξ é simetria infinitesimal de (E).
(ii). As equações diferenciais que determinam Φ τ são:
{
x ′ (τ) = x(τ)
u ′ com condição inicial, para τ = 0
(τ) = −u(τ)
{
x(0) = x
u(0) = u
Integrando vem que:
O respectivo prolongamento a J 1 é:
Φ τ (x, u) = ( e τ x, e −τ u )
Φ (1)
τ (x, u) =
Pondo F (x, u, p) = p + u 2 − 2 x 2 , vem que:
(x e τ , u e −τ , p e −2τ )
F ◦ Φ (1)
τ (x, u) = F
(x )
e τ , u e −τ , p e −2τ
= p e −2τ + (u e −τ ) 2 − 2
(x e τ ) 2
(
= e −2τ p + u 2 − 2 )
x 2
= e −2τ F (x, u, p)
o que mostra que Φ τ = Φ ξ τ é simetria (finita) de (E).
(iii). Pelo teorema de Lie µ = 1
θ(ξ)
Mas θ(ξ) = ( du + (u 2 − 2/x 2 ) dx ) ( x ∂
∂x − u ∂
∂u
diferente de zero:
é um factor integrante, desde que θ(ξ) ≠ 0.
)
= −u + u 2 x − 2/x e, desde que este termo seja
µ =
x
x 2 u 2 − xu − 2