FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 44
– (ii). Para facilitar a prova, escolhemos coordenadas lineares (x 1 , · · · , x n ), em IR n , relativamente
a uma base conveniente, de tal forma a que x o = 0, e ainda:
X i (0) =
∂
∂x i (0)
i = 1, · · · , k
(se necessário fazemos uma mudança linear de coordenadas). Suponhamos agora que
é o fluxo local de cada campo X i , e consideremos a aplicação de rectificação:
Φ X i
τ
φ(r 1 , · · · , r n )
def
= (Φ X 1
r
◦ Φ X 1 2
r
◦ · · · ◦ Φ X 2
k)(0, · · · , 0, r k+1 , · · · , r n )
r k
que está definida e é diferenciável numa certa vizinhança de 0 ∈ IR n r
. Calculando de
i
forma análoga à parte (i), obtemos:
( ) {
∂ Xi (0) = ∂ (0) para i = 1, · · · , k
dφ 0
∂r i =
∂r
∂
i |
∂r i 0 para i = k + 1, · · · , n
o que significa que a diferencial dφ 0 é a identidade e portanto, φ é uma parametrização
de uma certa vizinhança de 0 ∈ IR n x
. Além disso:
i
( ) ∂
dφ r
∂r 1 = X 1 (φ(r)
para r perto de 0, tal como em (i). Note que até aqui, não foi usada a hipótese (1.7.15).
Mas esta hipótese é equivalente à comutação dos fluxos Φ X i
t , (i = 1, · · · , k), e em particular
vemos que, para cada i = 1, · · · , k, φ pode também ser escrita na forma:
φ(r 1 , · · · , r n )
e o argumento anterior mostra que:
def
= (Φ X i
◦ Φ X r i 1
r
◦ · · · ◦ Φ X 1
k)(0, · · · , 0, r k+1 , · · · , r n )
r k
dφ r
( ∂
∂r i )
= X i (φ(r) i = 1, · · · , k
.
• Exemplo 1.7.7 ... Consideremos o campo em IR 2 :
X(x, y) = x ∂
∂x + y ∂
∂y
Perto de um ponto (a, b) ≠ (0, 0), o campo X não se anula e pode por isso ser rectificado. Se
a ≠ 0, X é transversal ao eixo dos yy, e a aplicação de rectificação (1.7.16), é neste caso (com
mudanças óbvias de notações):
φ(r, s) = Φ X r (a, b + s)
definida numa vizinhança de 0 ∈ IR 2 rs. O fluxo de X foi calculado anteriormente:
e portanto:
Φ X τ (x, y) = (e τ x, e τ y)
φ(r, s) = Φ X r (a, b + s) = (e r a, e r (b + s))
Podemos verificar directamente a condição (1.7.18):
( ) [
] [ ] [
]
∂ ae
dφ (r,s) =
r 0 1 ae
∂r (b + s)e r e r =
r
0 (b + s)e r = (ae r ) ∂
∂ ∂x +(b+s)er = X(φ(r, s))
∂y