FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 68
É uma transformação de contacto uma vez que:
L ∗ (du − p dx) = d(u ◦ L) − (p ◦ L)d(x ◦ L)
= dU − P dX
= d(xp − u) − x dp
= p dx + x dp − du − x dp
= −(du − p dx)
A transformação de Legendre transforma a 1-faixa de contacto 3 :
F m : p ↦−→ (a, b, p),
p ∈ IR
de suporte fixo m = (a, b) ∈ IR 2 xu, na 1-faixa L ◦ F m dada por:
L ◦ F m : p ↦−→ (p, a p − b, a)
cuja suporte, isto é, cuja projecção no plano de configuração, é a recta u = a x − b (ver a
figura 2.9)!
Figure 2.9: Transformação de Legendre L.
• Exemplo 2.1.8 - Transformação de Legendre e a equação de Clairaut ... A
transformação de Legendre transforma a equação de Clairaut, do exemplo 2.1.3: u = xu ′ −
f(u ′ ), isto é:
Σ = {(x, u, p) : u = xp − f(p)}
na equação obtida da seguinte forma. Calculamos primeiro L −1 :
L :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Em seguida calculamos:
X = p
U = xp − u
P = x
0 = u − xp + f(p)
⇒ L −1 :
= (X P − U) − P X + f(X)
= −U + f(X)
e portanto L transforma a equação de Clairaut, na equação:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = P
u = X P − U
p = X
U = f(X) (2.1.27)
3 Por definição, uma 1-faixa de contacto é uma curva imersa F : I ⊆ IR ↩→ J 1 (IR; IR), que é curva integral da
distribuição de contacto: F ∗ ω = 0.