FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 54
onde µ ij (τ) é uma família de funções que depende diferenciàvelmente de τ. Derivando
esta relação em ordem a τ, para τ = 0, obtemos:
[X, Z i ] = ∑ j
a ij Z j
onde a ij = −µ ′ ij (0).
2 ⇒ 3. Suponhamos que X satisfaz [X, Z i ] = ∑ k
j=1 a j i Z j, e que θ é uma 1-forma que se
anula em todos os campos Z i : θ(Z i ) = 0, ∀i. Então:
0 = L X (θ(Z i ))
= (L X θ) (Z i ) + θ (L X Z i )
= (L X θ) (Z i ) + θ ([X, Z i ])
=⇒
)
(L X θ) (Z i ) = −θ
(a i j Z j
= −a i j θ (Z j )
= 0
o que implica que L X θ = b j θ j .
3 ⇒ 1. Seja X um campo de vectores e Φ τ = Φ X τ o respectivo fluxo local. Como
Φ ∗ τ+η = Φ ∗ τ ◦ Φ ∗ η =, vem que:
d
dτ ∣ (Φ ∗ τ θ) = Φ ∗ η (L X θ) = Φ ∗ η (Xθ)
τ=η
Por outro lado, consideremos a (n − k + 1)-forma Ω i (τ), dependente de τ:
Ω i (τ) = Φ ∗ τ (θ i ) ∧ θ 1 ∧ · · · ∧ θ n−k
Como Φ ∗ 0(θ i ) = θ i , temos que Ω i (0) = 0. De facto, Ω i (τ) = 0, para todo o τ. Com
efeito:
d
dτ ∣ Ω i (τ) = Φ ∗ τ (Xθ i ) ∧ θ 1 ∧ · · · ∧ θ n−k = ∑ ) (Φ ∗ τ b i j Ω j (τ)
τ
Portanto, o vector cujas componentes são Ω 1 (τ), · · · , Ω n−k (τ), é solução de um sistema
linear homogéneo de equações diferenciais ordinárias, com condição inicial nula, e daí
que Ω i (τ) = 0, ∀τ. Φ ∗ τ (θ i ) é então combinação linear dos θ i , ∀τ, i.e., Φ τ é uma simetria
de D.
.
é:
O conjunto Sim(D), constituído pelas simetrias infinitesimais de D, é uma álgebra de Lie, isto
X, Y ∈ Sim(D) ⇒ aX + bY ∈ Sim(D), ∀a, b ∈ IR
X, Y ∈ Sim(D) ⇒ [X, Y] ∈ Sim(D) (1.7.38)
De facto, a primeira igualdade é óbvia, enquanto que a segunda resulta da identidade Jacobi.
Entre as simetrias infinitesimais X, de uma distribuição D, encontram-se as que pertencem a D,
isto é, X ∈ Γ(D). Estas simetrias dizem-se simetrias triviais (ou características). O conjunto
Sim(D) ∩ Γ(D) das simetrias características de D, será notado por Car(D):
Car(D) = Sim(D) ∩ Γ(D)