FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

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2.2. ODE’s de Segunda Ordem 83 • Exemplo 2.2.1 - Transformações pontuais ... Uma difeomorfismo (local) do espaço de configuração: φ : IR 2 −→ IR 2 (x, u) ↦−→ φ(x, u) = (X = X(x, u), U = U(x, u)) pode ser naturalmente levantado a uma transformação (local) de contacto de ordem 2, que notamos por: φ (2) : J 2 (IR; IR) −→ J 2 (IR; IR) De facto, calculando a partir das equações (2.2.7), deduzimos que a primeira implica que β = 0 e que P = P (x, u, p) é dada pela fórmula (2.1.25): P (x, u, p) = U x + p U u X x + p X u como aliás seria de prever. Por outro lado a segunda equação em (2.2.7) implica que: Q(x, u, p, q) = P x + p P u + q P p X x + p X u que por vezes se apresenta com a notação mais sugestiva: Q(x, u, u ′ , u ′′ ) = P x + u ′ P u + u ′′ P u ′ X x + u ′ X u Usando esta notação, concluímos portanto que o prolongamento a J 2 (IR; IR), de φ : IR 2 xu → IR 2 xu, é dado por: Suponhamos agora que: ⎧ ⎪⎨ φ (2) : (x, u, u ′ , u ′′ ) ↦−→ ⎪⎩ X = X(x, u) U = U(x, u) P = P (x, u, p) = Ux+u′ U u (2.2.8) X x +u ′ X u Q = Q(x, u, u ′ , u ′′ ) = Px+u′ P u+u ′′ P u ′ X x +u ′ X u Φ τ : IR 2 xu −→ IR 2 xu é um grupo (local ou global) a um parâmetro de difeomorfismos no espaço de configuração IR 2 xu. Podemos então prolongá-lo a J 2 (IR; IR), usando as fórmulas (2.2.8), obtendo desta forma um grupo (local ou global) a um parâmetro de difeomorfismos de J 2 (IR; IR): Φ (2) τ : J 2 (IR; IR) −→ J 2 (IR; IR) É fácil mostrar que o respectivo gerador infinitesimal X, é um campo de contacto em J 2 , isto é, que verifica as condições: L X ω i = ∑ λ i j ωj , i = 1, 2 (2.2.9) . Aliás, se ξ ∈ X(IR 2 xu) é o gerador infinitesimal de Φ τ , então o gerador infinitesimal de Φ (2) τ , diz-se o prolongamento a J 2 do campo ξ e nota-se por ξ (2) . Se: ξ = a(x, u) ∂ ∂ + b(x, u) ∂x ∂u
2.2. ODE’s de Segunda Ordem 84 então, calculando a partir das equações (2.2.9), podemos deduzir que ξ (2) é dado por (com as notações p = u ′ e q = u ′′ ): ξ (2) = a(x, u) ∂ ∂ + b(x, u) ∂x ∂u + c(x, u, u′ ) ∂ ∂u ′ + d(x, u, u′ , u ′′ ) ∂ ∂u ′′ (2.2.10) onde: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ c(x, u, u ′ ) = b x + (b u − a x ) u ′ − a u (u ′ ) 2 d(x, u, u ′ , u ′′ ) = b xx + (2b xu − a xx ) u ′ + (b uu − 2a xu ) (u ′ ) 2 −a uu (u ′ ) 3 + (b u − 2a x ) u ′′ − 3a u u ′ u ′′ (2.2.11) 2.2.1 Invariantes Diferenciais Seja Φ τ um grupo (local ou global) a um parâmetro de difeomorfismos de IR 2 xu, e ξ ∈ X(IR 2 xu) o respectivo gerador infinitesimal. Definição 2.2.1 ... (i). Uma função F : IR 2 xu → IR diz-se um invariante (de ordem 0), do grupo Φ τ , se: F (Φ τ (x)) = F (x), ∀x ∈ IR 2 , ∀τ (2.2.12) isto é, F é constante ao longo de cada órbita do grupo. (ii). Uma função F : J 1 (IR; IR) → IR diz-se um invariante diferencial de ordem 1, do grupo Φ τ , se: ( ) F (c) = F (c), ∀c ∈ J 1 (IR; IR), ∀τ (2.2.13) Φ (1) τ (iii). Uma função F : J 2 (IR; IR) → IR diz-se um invariante diferencial de ordem 2, do grupo Φ τ , se: ( ) F (c) = F (c), ∀c ∈ J 2 (IR; IR), ∀τ (2.2.14) Φ (2) τ Se: a tradução infinitesimal das definições anteriores é a seguinte: ξ = a(x, u) ∂ ∂ ∂x + b(x, u) ∂u (2.2.15) (i). Uma função F : IR 2 xu → IR é um invariante (de ordem 0), do grupo Φ τ , sse: ξF = a ∂F ∂x + b ∂F ∂u = 0 (2.2.16) (ii). Uma função F : J 1 (IR; IR) → IR é um invariante diferencial de ordem 1, do grupo Φ τ , sse: ξ (1) F = a ∂F ∂x + b ∂F ∂u + c ∂F ∂u = 0 (2.2.17) ′ (iii). Uma função F : J 2 (IR; IR) → IR é um invariante diferencial de ordem 2, do grupo Φ τ , sse: ξ (2) F = a ∂F ∂x + b ∂F ∂u + c ∂F ∂u ′ + d ∂F ∂u ′′ = 0 (2.2.18)
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Capítulo 1 Preliminares 1.1 Equaç
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1.4. Simetrias e factores integrant
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1.5. PDE quasi-linear de primeira o
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