FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.6. PDE de primeira ordem F (x, y, u, p, q) = 0 30
Portanto, ao longo de uma qualquer curva solução do sistema (1.6.10), temos que F = 0, ∀τ, se
F = 0 para algum valor particular de τ.
Para interpretar geomètricamente os cálculos anteriores, vamos introduzir de seguida mais alguns
conceitos geométricos 4 .
Um vector de coordenadas (x, y, u, p, q) ∈ IR 5 , pode ser interpretado como um elemento plano
(de contacto) em IR 3 , isto é, como um par constituído pelo ponto (x, y, u) de IR 3 - o chamado
suporte do elemento - e por um plano em IR 3 , que passa em (x, y, u) e é perpendicular ao vector
(p, q, −1). Uma curva ˜α, em IR 5 , de equações paramétricas:
˜α : τ ↦−→ ˜α(τ) = (x(τ), y(τ), u(τ), p(τ), q(τ)) (1.6.12)
pode portanto ser interpretada como uma família a um parâmetro τ, de elementos planos, ou,
por outras palavras, como uma família de planos ao longo da curva suporte (ou curva base)
α : τ ↦→ c(τ) = (x(τ), y(τ), u(τ)).
Uma tal curva ˜α, em IR 5 , diz-se uma faixa de contacto ao longo da curva α, se em cada
ponto α(τ), o respectivo vector tangente α ′ (τ), pertence ao elemento plano ˜α(τ), isto é:
ou ainda:
(x ′ (τ), y ′ (τ), u ′ (τ)) · (p(τ), q(τ), −1) = 0
u ′ (τ) = p(τ) x ′ (τ) + q(τ) y ′ (τ), ∀τ (1.6.13)
Por outras palavras, α é uma curva integral da chamada 1-forma de contacto, em IR 5 = IR 5 xyupq:
ω = du − p dx − q dy (1.6.14)
Note que qualquer solução das equações características (1.6.10), é automàticamente uma faixa de
contacto (pelas três primeiras equações em (1.6.10)).
Uma curva ˜α(τ) = (x(τ), y(τ), u(τ), p(τ), q(τ)) diz-se uma faixa de contacto característica
(ou integral) da PDE F (x, y, u, p, p) = 0, se ˜α é solução das equações características (1.6.10), e
se, além disso, satisfaz a condição:
F ( ˜α(τ)) = F (x(τ), y(τ), u(τ), p(τ), q(τ)) ≡ 0, ∀τ (1.6.15)
Por (1.6.11), esta condição verifica-se ∀τ, desde que se verifique para um dado valor particular de
τ!
Uma superfície parametrizada S = Φ(s, τ), em IR 3 x,y,u, pode ser vista como sendo constituída
por uma família a dois parâmetros (s, τ), de elementos planos:
˜Φ(s, τ) = (x(s, τ), y(s, τ), u(s, τ), p(s, τ), q(s, τ))
formados pelos pontos de S e pelos respectivos planos tangentes. No entanto, nem toda a família
a dois parâmetros de elementos planos (s, τ) ↦→ ˜Φ(s, τ), formam uma superfície. É novamente
necessário que du = p dx + q dy se verifique, ou mais exactamente que ˜Φ ∗ (ω) = 0, isto é que:
0 = ˜Φ ∗ (ω)
= ˜Φ ∗ (du − p dx − q dy)
= d(u ◦ ˜Φ) − (p ◦ ˜Φ)d(x ◦ ˜Φ) − (q ◦ ˜Φ)d(y ◦ ˜Φ)
= (u s ds + u τ dτ) − p (x s ds + x τ dτ) − q (y s ds + y τ dτ)
= (u s − p x s − q y s ) ds + (u τ − p x τ − q y τ ) dτ
4 Este conceitos servem como uma introdução à geometria de contacto no espaço, que será desenvolvida com todo
o rigor no capítulo 3.