FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

Capítulo 3
Geometria de contacto das Equações
Diferenciais Parciais (PDE’s) de
Primeira Ordem
3.1 Geometria da equação F (x, u, u x ) = 0.
Consideremos uma PDE de primeira ordem:
F (x, u, u x ) = 0 (3.1.1)
onde x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ IR n , u ∈ IR e u x = (∇u) T =
( ∂u
∂x 1 , · · · , ∂u
∂x n )
= (u x 1, u x 2, · · · , u x n).
Para interpretar geomètricamente esta equação, consideramos o espaço J 1 (IR n ; IR) dos elementos
de contacto regulares do espaço de configuração IR n+1
x 1···xn u
. Um elemento de contacto
desse espaço é, por definição, um par c = (m, H m ), constituído por um ponto m = (x, u) ∈ IR n+1
e por um hiperplano H m ∈ T m IR n+1 . O ponto m diz-se o suporte de c = (m, H m ). O elemento
de contacto c = (m, H m ) diz-se regular quando o hiperplano H m é não vertical, i.e., quando não
contem
∂
∣ (ver figura 3.1).
m
∂u
Figure 3.1: Elemento de contacto c = (m, H m ) em IR n+1 = IR n+1
x i u .
{ ∣ ∣ }
Como ∂ ∣∣m ∂ ∣∣m ∂
, · · · ,
∂x 1 ∂x
, n ∂u∣ constituem uma base para o espaço tangente T m IR n+1 , onde
m
m = (x, u) ∈ IR n+1 , e como { dx 1∣ ∣ m
, · · · , dx n }
| m
, du| m é a respectiva base dual, o hiperplano Hm
(sendo não vertical) tem por equação:
du| m
= p 1 dx 1∣ ∣ ∣m + · · · + p n dx n | m
= p · dx| m
(3.1.2)
107