FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 80
Esta equação é invariante sob o grupo a uma parâmetro:
τ ↦−→ Φ τ (x, u) = ( X = e τ x, U = e −τ u )
ou mais exactamente, sob o respectivo levantamento a J 1 , dado por (2.1.25), isto é:
τ ↦→ Φ τ (1) (x, u, p) =
(
X = e τ x, U = e −τ u, P = pe−τ
e τ )
De facto, como neste caso F (x, u, p) = p + u 2 − 2 x 2 , vem que:
F ◦ Φ (1) τ (x, u, p) = F (X, U, P )
= F
(e )
τ x, e −τ u, pe −2τ
= pe −2τ + ( e −τ u ) 2 2 −
(e τ x) 2
(
= e −2τ p + u 2 − 2 )
x 2
= e −2τ F (x, u, p)
O gerador infinitesimal do grupo a um parâmetro Φ τ , é:
ξ =
d
( dτ ∣ e τ x, e −τ u ) = x ∂
τ=0 ∂x − u ∂
∂u
cujo prolongamento a J 1 é dado por (2.1.51):
ξ (1) = x ∂
∂x − u ∂
∂u − 2p ∂ ∂p
e a versão infinitesimal da simetria da equação de Riccati, é a seguinte:
[
ξ (1) F = x ∂
∂x − u ∂
∂u − 2p ∂ ] (p + u 2 − 2 )
∂p
x 2
= −2
(p + u 2 − 2 )
x 2
O difeomorfismo de rectificação φ, do campo ξ, é:
= −2 F (2.1.67)
φ : IR 2 rs −→ IR 2 xu
(r, s) ↦−→ (x(r, s), u(r, s))
onde as respectivas componentes são determinadas pelo sistema de ODE’s, parametrizado
por s:
∂x
⎧⎪ ⎨
∂r
(r; s) = x(r; s)
∂u
∂r
(r; s) = −u(r; s)
x(0; s) = 1
⎪ ⎩
u(0; s) = s
A primeira equação dá x(r, s) = a(s) e r . Mas como x(0; s) = 1, virá que a(s) = 1, e portanto
x = e r . Quanto à segunda equação, ela dá u(r, s) = b(s) e −r . Como u(0; s) = s, virá que
b(s) = s, e portanto u = s e −r . Portanto o difeomorfismo de rectificação do campo ξ, é:
φ(r, s) = ( x = e r , u = s e −r)