FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 87
• Exemplo 2.2.3 ... Consideremos o grupo a um parâmetro de rotações, em IR 2 xu, dado
por:
Φ τ (x, u) = (x cos τ − u sin τ, u cos τ + x sin τ)
cujo gerador infinitesimal é:
Aqui a = −u e b = x, e:
ξ(x, u) = −u ∂
∂x + x ∂
∂u
(2.2.33)
c = c(x, u, u ′ ) = D x b − u ′ D x a
= 1 + (u ′ ) 2
d = d(x, u, u ′ , u ′′ ) = D x c − u ′′ D x a
= 3u ′ u ′′ (2.2.34)
Portanto, os prolongamentos de ξ a J 1 e J 2 , são dados respectivamente por:
ξ (1) = −u ∂
∂x + x ∂
∂u + [1 + (u′ ) 2 ]
ξ (2) = x ∂
∂x + u ∂
∂u + [1 + (u′ ) 2 ]
Os invariantes de ordem 0, são as soluções F = F (x, u) da PDE:
cujas características são dadas por:
e a solução geral é:
ξF = −u ∂F
∂x + x ∂F
∂u = 0
dx
−u = du x
∂
∂u ′ (2.2.35)
∂
∂u ′ + 3u′ u ′′ ∂
∂u ′′ (2.2.36)
F = F ( x 2 + u 2) (2.2.37)
Os invariantes de ordem 1, são as soluções F = F (x, u, u ′ ) da PDE:
cujas características são dadas por:
ξ (1) F = −u ∂F
∂x + x ∂F
∂u + [1 + (u′ ) 2 ] ∂F
∂u ′ = 0
dx
−u = du x = du ′
1 + (u ′ ) 2
Um integral primeiro é f = x 2 + u 2 . Para encontrar um segundo integral funcionalmente
independente, multiplicamos os numerador e denominador da primeira fracção por −u, e os
da segunda por x, para obter:
x du − u dx
x 2 + u 2 =
du ′
1 + (u ′ ) 2
e portanto: g = arc tg ( u
x
) − arc tg (u ′ ) é um segundo integral. No entanto, é mais usual
tomar como integral a tangente desta função, isto é:
h = u − xu′
x + uu ′
Portanto o invariante diferencial de ordem 1 mais geral é do tipo:
F = F
)
(x 2 + u 2 , u−xu′
x+uu ′
(2.2.38)