FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.2. PDE de primeira ordem linear P u x + Q u y = R u + S. 11
Em particular, se a equação (1.2.1) fôr homogénea (R = S = 0):
P u x + Q u y = 0 (1.2.5)
= 0, e a solução u será constante e igual a u(x o , y o ), ao longo da curva característica
α, que passa em (x o , y o ). Por outras palavras, u é um integral primeiro do campo característico
(1.2.2) da equação (1.2.5).
então du(α(τ))
dτ
Suponhamos agora que γ é uma curva que intersecta uma família de curvas características (ver
a figura 1.2). Se especificarmos de forma arbitrária os valores de u, em cada ponto de γ, então a
solução ficará determinada pelo menos numa certa vizinhança de γ, resolvendo a ODE (1.2.4), para
cada uma das curvas características que passam em γ. Há no entanto certas condições naturais a
impôr. De facto:
• γ não poderá conter qualquer curva característica. Caso contrário, não poderíamos especificar
de forma arbitrária os valores de u ao longo de γ.
• γ não pode auto intersectar-se, pelo mesmo motivo anterior.
• γ não poderá sequer ser tangente a qualquer curva característica. Caso contrário, se γ fôsse
tangente a uma curva característica α, num certo ponto p o = α(τ o ), a derivada direccional
Dα ′ (τ)u(p o ) = D Z(po )u(p o ), seria determinada pela equação (1.2.4), de uma forma que estaria
eventualmente em conflito com os valores de u, especificados de forma arbitrária ao longo de
γ.
Concluindo, devemos exigir que o campo característico (1.2.2), seja transversal à curva γ. Podemos
então enunciar o teorema seguinte:
• Teorema 1.2.1 ... Sejam P, Q, R, S funções de classe C ∞ , num aberto de U ⊆ IR 2 ,
e γ : [a, b] → U uma curva suave, regular e injectiva, tal que, em cada ponto γ(s), os
vectores Z(γ(s)) = P (γ(s)) ∂
∂x∣ + Q(γ(s)) ∂ γ(s) ∂y ∣ e γ ′ (s) são linearmente independentes.
γ(s)
Suponhamos ainda que u o : [a, b] → IR é uma função suave 1 .
Então existe uma função suave u = u(x, y), definida numa vizinhança V de γ([a, b]), tal que
u é solução da PDE (1.2.1):
P u x + Q u y = R u + S
em V , que satisfaz a condição inicial:
u(γ(s)) = u o (s), ∀s ∈ [a, b]
Além disso, quaisquer duas funções com as propriedades referidas, coincidem numa vizinhança
de γ([a, b]).
• Exemplo 1.2.1 ... Consideremos a equação homogénea:
a u x + u t = 0
(Relativamente às notações anteriores, pusemos y = t, e P ≡ a (constante), Q = 1, R = S =
0). Vamos calcular a solução u, que satisfaz a condição inicial:
1 esta condição pode ser relaxada...
u(x, 0) = f(x)
.