FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 89
Uma solução generalizada da equação (2.2.1) é, por definição, uma curva integral (contida
em SS), do campo de direcções características C SS . Entre estas soluções encontram-se as soluções
clássicas, isto é, as curvas integrais de C SS , que se projectam difeomòrficamente sobre o eixo dos
xx, e que, por isso, são 2-gráficos de soluções usuais da equação (2.2.1).
O campo de direcções características C SS , da ODE F (x, u, u ′ , u ′′ ) = 0, pode ser definido por um
campo de vectores Z = Z F ∈ X(Σ) (pelo menos localmente). Vejamos como se define este campo.
Suponhamos que:
Z = α ∂
∂x + β ∂
∂u + γ ∂ ∂p + δ ∂ ∂q
Por definição, Z deverá verificar as seguintes condições:
⎧
⎪⎨ dF (Z)| Σ = 0 Z deve ser tangente a Σ
ω 1 (Z)| Σ = 0
⎪⎩ ω 2 (Z)| Σ = 0 Z deve pertencer ao plano de contacto Π = ker ω 1 ∩ ker ω 2
As duas últimas condições dizem que:
⎧
ω 1 (Z) = (du − p dx)
⎪⎨
⎪⎩
(
)
α ∂
∂x + β ∂
∂u + γ ∂ ∂p + δ ∂ ∂q
= β − p α
= 0
(
)
ω 2 (Z) = (dp − q dx) α ∂
∂x + β ∂
∂u + γ ∂ ∂p + δ ∂ ∂q
= γ − q α
= 0
(2.2.45)
enquanto que a primeira é equivalente à existência de uma função λ tal que ZF = λF , isto é:
Substituindo β = pα e γ = q α, vem que:
α
α ∂F
∂x + β ∂F
∂u + γ ∂F
∂p + δ ∂F
∂q = λ F
( ∂F
∂x + p ∂F
∂u + q ∂F
∂p
)
+ δ ∂F
∂q = λ F
e é óbvio que esta condição se verifica pondo λ = 0, α = − ∂F
∂q
e δ = ∂F
∂x + p ∂F
∂u + q ∂F
∂p . Portanto o
campo de vectores Z F , que define o campo de direcções características, tem a forma:
ou em notação sugestiva:
( )
Z F = −F ∂ q ∂x + p ∂
∂u + q ∂ ∂p
+ (F x + p F u + q F p ) ∂ ∂q
(2.2.46)
Z F = −F u ′′
( )
∂
∂x + u′ ∂
∂u + u′′ ∂
∂u
+ (F ′ x + u ′ F u + u ′′ F u ′) ∂
∂u
(2.2.47)
′′
Z F diz-se o campo característico da equação (2.2.1). As respectivas curvas integrais são dadas
pelas equações diferenciais:
dx
−F q
= du
−p F q
= dp
−q F q
=
dq
F x+p F u+q F p
(2.2.48)
ou, noutra forma: ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
ẋ = −F q
˙u = −p F q
ṗ = −q F q
˙q = F x + p F u + q F p
(2.2.49)