FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 63
A projecção do campo Z F no plano de configuração IR 2 x,u, é:
(2u − 3x) ∂
∂x − u ∂
∂u
e as respectivas curvas integrais obtêm-se resolvendo o sistema seguinte:
{
x
′
= 2u − 3x
u ′ = −u
Portanto u = a e −t e x = a e −t + b e −3t , isto é, x = u + b u 3 , com b ∈ IR constante (ver a figura
2.6).
Figure 2.6: Curvas integrais da ODE: (3x − 2u)u ′ = u.
• Exemplo 2.1.3 ... Considere a equação de Clairaut:
onde f é uma função C ∞ . Neste caso:
u = xu ′ + f(u ′ ) (2.1.19)
Σ = {(x, u, p) : u = xp + f(p)}
SS é o gráfico da função u = u(x, p) = xp + f(p) e podemos pois parametrizar (globalmente)
SS usando as coordenadas (x, p):
φ : (x, p) ↦−→ (x, xp + f(p), p)
Nestas coordenadas, a forma de contacto ω SS é dada por:
ω SS
def
= φ ∗ (ω)
= φ ∗ (du − p dx)
= d(xp + f(p)) − p dx
= p dx + x dp + f ′ (p) dp − p dx
= (x + f ′ (p)) dp
Um vector característico Z F = α ∂
∂x + β ∂ ∂p ∈ T φ(x,p)SS, terá de satisfazer a condição:
0 = ω SS(ZF )
= (x + f ′ (p)) dp(Z F )
= (x + f ′ (p)) β
Se x + f ′ (p) ≠ 0 então β = 0 e Z F = ∂
∂x
, cujas curvas integrais são p ≡ a = (constante). As
imagens sob φ em SS, são as curvas parametrizadas por x:
x ↦−→ (x, ax + f(a), a)