FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.6. PDE de primeira ordem F (x, y, u, p, q) = 0 31
ou ainda:
{ ∂u
∂s
= p ∂x
∂s + q ∂y
∂s
∂u
∂τ
= p ∂x
∂τ + q ∂y
∂τ
Os elementos planos têm que se ajustar uns aos outros, como se fossem escamas de um peixe!
Uma faixa característica da PDE (1.6.1), sendo solução das equações características, fica determinada
por um dos seus elementos. Se esse elemento consiste de um ponto P numa superfície
integral S, de (1.6.1), juntamente com o plano tangente a S em P , então a referida faixa é constituída
pela curva característica de S, que passa em P , juntamente com cada um dos planos
tangentes a S ao longo dessa curva. Se uma outra superfície integral é tangente a S em P , então
ela será tangente ao longo de toda a curva característica de S.
As equações características (1.6.10), descrevem portanto uma “lei de propagação” de elementos
característicos, isto é, de planos tangentes a uma superfície integral S, ao longo de uma curva
característica de S.
O problema de Cauchy para a PDE (1.6.1), consiste em construir uma superfície integral
que passe numa curva “inicial” suave arbitrária γ, dada paramètricamente por:
s ∈ I ↦−→ γ(s) = (x(s), y(s), u(s)) (1.6.16)
Para conseguir isso, faremos passar por γ(I), faixas características apropriadas. Mas antes do mais,
devemos completar γ numa faixa de elementos característicos, isto é, devemos encontrar funções:
tais que (pondo agora ′ = d/ds):
p = p(s) e q = q(s)
{
u ′ (s) − x ′ (s) p − y ′ (s) q = 0
F (x(s), y(s), u(s); p, q) = 0
(1.6.17)
Como a segunda equação é não linear, poderá haver uma, várias ou nenhuma solução (p, q), de
(1.6.18). Suponhamos que é dada um solução específica (p o , q o ) de:
{
u ′ (s o ) − x ′ (s o ) p o − y ′ (s o ) q o = 0
F (x(s o ), y(s o ), u(s o ); p o , q o ) = 0
(1.6.18)
tal que:
x ′ (s o ) F q (x o , y o , u o , p o , q o ) − y ′ (s o ) F p (x o , y o , u o , p o , q o ) ≠ 0 (1.6.19)
isto é, o plano característico tangente a γ, em P o = (x o , y o , u o ), tem uma geratriz de contacto com
o cone de Monge em P o , cuja projecção no plano xy é não colinear com a projecção da tangente a
γ, em P o . Pelo teorema da função implícita, existem então funções suaves únicas p(s), q(s), perto
de s o , que satisfazem (1.6.18), e que se reduzem a p o , q o , para s = s o .
Com efeito, o sistema (1.6.18) é do tipo:
{
f(s, p, q) = u ′ (s) − x ′ (s) p − y ′ (s) q = 0
g(s, p, q) = F (x(s), y(s), u(s); p, q) = 0
que se pretende resolver em ordem a s, numa vizinhança de s = s o .
implícita, isto é possível se:
∣
∂(f, g)
f
∂(p, q) ∣ = p f ∣∣∣∣(so q
(so,p
∣
o,q o)
g p g q
,p o ,q o )
Pelo teorema da função