FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 90
Em particular, quando a equação (2.2.1) é resolúvel em ordem a q = u ′′ , isto é, quando F =
−q + G(x, u, p), de tal forma que Σ = gr G = {(x, u, p, q) : q = G(x, u, p)}, o campo de vectores
Z F , que define o campo de direcções características, tem a forma (uma vez que F q = −1):
Z F = ∂
∂x + p ∂
∂u + q ∂ ∂p + (G x + p G u + q G p ) ∂ ∂q
(2.2.50)
Este campo projecta-se num campo de vectores:
X G = ∂
∂x + p ∂
∂u + G(x, u, p) ∂ ∂p
(2.2.51)
em J 1 (IR, IR) = IR 3 xup. Portanto uma ODE do tipo u ′′ = G(x, u, u ′ ) é equivalente ao campo de
vectores X G , em J 1 , acima referido.
2.2.3 Simetrias da equação F (x, u, u ′ , u ′′ ) = 0
Uma simetria (infinitesimal) da ODE de segunda ordem F (x, u, u ′ , u ′′ ) = 0, é um campo de contacto
de ordem 2, X ∈ X(J 2 (IR; IR)), tal que:
XF = λ F
para alguma função λ ∈ C ∞ (J 2 ). As simetrias mais estudadas são as simetrias pontuais X = ξ (2) ,
onde ξ ∈ X(IR 2 xu).
Consideremos uma ODE de segunda ordem cuja superfície associada é:
Σ = {(x, u, p, q) ∈ IR 4 : F (x, u, p, q) = 0 }
em J 2 (IR; IR), e suponhamos que SS é invariante sob um grupo (local) a um parâmetro Φ (2)
τ , de
transformações pontuais, onde Φ τ : IR 2 xu → IR 2 xu. Então as órbitas de Φ (2)
τ estão contidas em SS:
Φ (2)
τ (c) = 0, ∀c : F (c) = 0
e o gerador infinitesimal ξ (2) desse grupo, é sempre tangente a SS. Suponhamos que este gerador
nunca se anula em SS:
ξ (2) (c) ≠ 0, ∀c : F (c) = 0
Então se f(x, u), g(x, u, u ′ ) e h(x, u, u ′ , u ′′ ) = Dxg
D x f
são invariantes diferenciais do grupo referido,
as respectivas órbitas são dadas (localmente) por:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f(x, u) ≡ α
g(x, u, u ′ ) ≡ β
D x g
D (x, u, xf u′ , u ′′ ) ≡ γ
(2.2.52)
Mas os invariantes f, g e h = D xg
D xf
, são funcionalmente independentes e por isso a aplicação:
Ψ : IR 4 xupq −→
(
IR 3 αβγ
)
(x, u, p, q) ↦−→ α = f(x, u), β = g(x, u, p), γ = Dxg
D x f (x, u, p, q)
tem característica 3, e é portanto uma submersão local, cujas fibras são as órbitas do grupo de
simetria.
Como estas órbitas estão contidas em SS, existe (localmente) uma função G : IR 3 → IR tal que
(localmente) SS é dada por G(α, β, γ) = 0 (isto é, localmente SS é um cilindro sobre a superfície