FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.4. Simetrias e factores integrantes 18
é um factor integrante de θ:
e a solução geral de (1.4.1) é dada por:
f(x, y) = ∫
µθ = df
θ
θ(X) = ∫ P (x,y) dx+Q(x,y) dy
ξP +ηQ
= c (1.4.8)
onde a integração é feita ao longo de um qualquer caminho que une um ponto x o , fixo arbitràriamente,
ao ponto x = (x, y).
Resumindo todas esta discussão, podemos enunciar o seguinte:
• Teorema 1.4.1 (Lie) ... Se a equação de Pffaf θ = P dx + Q dy = 0, admite uma
simetria infinitesimal X = ξ ∂
∂x + η ∂ 1
∂y
não trivial, então µ = = 1
θ(X) ξP +ηQ é um factor
integrante dessa equação.
.
• Exemplo 1.4.1 ... A equação:
admite a simetria não trivial:
y ′ = φ (y)
X = ∂
∂x
De facto, adoptando as notações anteriores, podemos escrever a referida equação em forma
de Pfaff:
θ = φ (y) dx − dy = 0
isto é, P (x, y) = φ (y) e Q(x, y) = −1. Portanto, o campo Z é neste caso:
Calculando o comutador [X, Z], obtemos:
[X, Z] =
Z = ∂
∂x + φ (y) ∂ ∂y
[ ∂
∂x , ∂
∂x + φ (y) ∂ ]
= 0
∂y
X será uma simetria não trivial desde que θ(X) = φ (y) ≠ 0. A função µ = 1
θ(X) = 1 φ é factor
integrante para θ, isto é, µθ é exacta, µθ = df, e a solução geral da equação dada é:
∫ φ dx − dy
f =
φ
= x −
∫ dy
φ = c
• Exemplo 1.4.2 ... A equação:
admite a simetria não trivial:
( y
y ′ = φ
x)
X = x ∂
∂x + y ∂ ∂y