FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.5. PDE quasi-linear de primeira ordem A u x + B u y = C. 25
que tendem para infinito, quando Φ u = 1 + φ ′ (x − A(u) t) A ′ (u) t = 0. Em cada um destes
pontos, a solução tem uma descontinuidade chamada choque.
Fixemos um valor x o para x, e seja u o = φ(x o ) = u(x o , 0). A recta em IR 3 x,t,u, definida por:
{
u ≡ u o
x − A(u o )t ≡ x o
(1.5.13)
é uma curva característica da equação (1.5.8), que no instante t = 0 passa em (x o , 0, u o ), e
portanto está contida na superfície integral definida por (1.5.10). Concluímos portanto que,
ao longo da recta:
x − A(u o )t = x o (1.5.14)
no plano x, t, a solução u tem sempre o mesmo valor constante, igual a u o = φ(x o ).
Se duas quaisquer das rectas (1.5.14), não se intersectam no plano x, t, a solução u = u(x, t)
existe e é diferenciável ∀t > 0. No entanto, se existem duas dessas rectas que se intersectam,
para t > 0, então no ponto de intersecção temos uma incompatibilidade, uma vez que a
solução não pode tomar dois valores diferentes nesse ponto.
Mais concretamente, sejam x 1 < x 2 dois pontos distintos na curva inicial t = 0, e φ(x 1 ) =
u 1 ≠ u 2 = φ(x 2 ). Suponhamos ainda que A(u 1 ) > A(u 2 ). Então as rectas:
x − A(u 1 )t ≡ x 1 e x − A(u 2 )t ≡ x 2
intersectam-se no ponto p c = (x c , t c ), onde (ver a figura 1.3):
t c =
x 2 − x 1
A(u 1 ) − A(u 2 ) > 0
No ponto p c , temos então uma incompatibilidade já que φ(x 1 ) = u 1 ≠ u 2 = φ(x 2 ), e, como
sabemos, a solução tem um valor constante ao longo de cada uma das rectas referidas. Portanto
essa solução não pode ser definida para tempo t ≥ t c , e diz-se então que ocorreu um
choque no ponto p c 2 .
Figure 1.3: Choque em leis de conservação.
2 Sobre a ocorrência de choques ver Lax, P. D. “The formation and decay of shock waves”, Amer. Math. Monthly,
79 (1972), 227-241.