FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.6. PDE de primeira ordem F (x, y, u, p, q) = 0 32
=
=
∣ −x ′ (s) −y ′ (s) ∣∣∣∣(so ∣ F p F q
,p o ,q o )
−x ′ (s o ) −y ′ (s o )
∣ F p (x o , y o , u o , p o , q o ) F q (x o , y o , u o , p o , q o ) ∣
= −x ′ (s o )F q (x o , y o , u o , p o , q o ) + y ′ (s o )F p (x o , y o , u o , p o , q o )
≠ 0
que é exactamente a condição de transversalidade (1.6.19).
Posto isto, por cada elemento (x(s), y(s), u(s), p(s), q(s)), passamos agora a única faixa característica,
que se reduz a esse elemento para τ = 0. Desta forma construímos 5 funções:
x = x(s, τ), y = y(s, τ), u = u(s, τ), p = p(s, τ), q = q(s, τ) (1.6.20)
definidas para |s − s o | e |t|, suficientemente pequenos, que satisfazem, para cada s fixo, as equações
características (1.6.10), como funções de τ, e que para τ = 0, se reduzem respectivamente a
x(s), y(s), u(s), p(s) e q(s). Além disso, a relação F (x(s, τ), y(s, τ), u(s, τ), p(s, τ), q(s, τ)) = 0,
verifica-se idênticamente em s e τ, uma vez que se verifica para τ = 0.
Concluindo - se existir uma superfície integral S, que passe em γ, e que contenha o elemento
(x o , y o , u o , p o , q o ), então S deverá ser a reunião dos suportes das faixas características que acabamos
de construir. Em particular as 3 primeiras equações em (1.6.20), devem formar uma parametrização
de S.
Recìprocamente, vamos agora provar que (1.6.20), representa uma solução do problema de
Cauchy, dada em forma paramétrica, numa vizinhança de P o . Em primeiro lugar, podemos resolver
as duas primeiras equações (1.6.20), para (s, τ) como funções de (x, y), para (x, y) perto de (x o , y o ).
Com efeito:
x o = x(s o , 0), e y o = y(s o , 0)
e para (s, τ) = (s o , 0), pondo (·) = (x o , y o , u o , p o , q o ), vem que:
[ ] [
∂(x, y)
∂(s, τ) = det xs y s x
= det
′ (s o ) y ′ (s o )
x τ y τ F p (·) F q (·)
]
≠ 0
por (1.6.19). Substituindo então na terceira equação (1.6.20), obtemos uma equação explícita
u = u(x, y), para uma superfície S, que passa em γ.
Para provar que S é superfície integral, como a relação F (x(s, τ), y(s, τ), u(s, τ), p(s, τ), q(s, τ)) =
0, se verifica idênticamente em s e τ, resta provar que p e q, definidas pelas duas últimas equações
(1.6.20), são idênticamente iguais a u x e u y , respectivamente. Esta verificação fica a cargo do leitor
!...
• Exemplo 1.6.1 ... Consideremos o problema de Cauchy:
F (x, y, u, u x , u y ) = u x u y − 1 = 0,
u(x, 0) = x
A curva “inicial” γ é dada paramètricamente por:
γ(s) = (x(s) = s, y(s) = 0, u(s) = s) (1.6.21)