FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy = 0 7
donde se deduz que g ′ (y) = 0, i.e., g(y) ≡ c (constante). Portanto:
f(x, y) = y2
2 ex + ye 2x = c
e a solução geral pretendida é obtida resolvendo esta equação em ordem a y:
y(x) = −e x ± [e 2x + 2Ce−x] 1/2
• Exemplo 1.1.3 ... Consideremos a seguinte equação linear de primeira ordem não
homogénea:
y ′ = dy
dx
= a(x) y + b(x) (1.1.14)
A integração desta equação é equivalente à integração da equação:
θ = [a(x) y + b(x)] dx − dy = 0 (1.1.15)
Aqui P (x, y) = a(x) y + b(x) e Q(x, y) = −1. Em geral θ não é fechada, já que P y = a(x) ≠
0 = Q y , em geral. Vamos tentar encontrar um factor integrante da forma µ = µ(x). Neste
caso a equação (1.1.13), reduz-se à equação diferencial ordinária:
cuja solução é:
µ ′ = −aµ
∫
µ(x) = e − x
a(τ) dτ
xo x
o ∈ I
Temos então que µθ é exacta, e seguindo o método proposto anteriormente, determinamos a
solução geral de (1.1.14), na forma f(x, y) = c, onde:
f(x, y) = µ(x) y −
∫ x
Se x 0 ∈ IR é dado, resolvendo a equação implícita:
em ordem a y, obtemos a função:
De (1.1.15), concluímos então que:
x 0
µ(τ)b(τ)dτ
f(x, y) = f(x o , y o ) = µ(x o )y o
y(x) = µ(x o)
µ(x) y o +
y(x) = e∫ x
xo a(τ) dτ y o +
= U(x; x o ) y o +
∫ x
x o
µ(τ)
µ(x) b(τ)dτ
∫ x ∫ x
e
a(τ) dτ s b(s)ds
x
∫ o
x
é solução do (P V I) (xo ,y o ), definido por:
{
y ′ = a(x) y + b(x)
∫ x
y(x o ) = y o
x ∈ I
x o
U(x; s) b(s)ds, x ∈ I (1.1.16)
def
Em (1.1.16) pusemos U(x; y) = e
a(τ) dτ y , para o chamado propagador da ODE dada. Se
ŷ : I → IR é uma outra solução do mesmo PVI, então u = ŷ − y é solução da equação linear
homogénea:
{
u ′ = a(x) u
u(x o ) = 0
e portanto u ≡ 0, isto é ŷ = y. Podemos assim enunciar o seguinte teorema: