FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy = 0 8
• Proposição 1.1.4 ... Seja I ⊆ IR um intervalo aberto de IR, e a, b : I → IR duas funções
C ∞ em I. Então, ∀(x o , y o ) ∈ yI × IR, o (P V I) (xo ,y o ), definido por:
{
y ′ = a(x) y + b(x)
y(x o ) = y o
correspondente à equação linear de primeira ordem não homogénea y ′ = a(x) y +b(x),
admite uma única solução global dada por:
y(x) = U(x; x o ) y o + ∫ x
x o
U(x; s)b(s)ds x ∈ I (1.1.17)
onde U é o chamado propagador ou operador de evolução, definido por:
∫ x
U(x; y) = e
y ∀y, x ∈ I (1.1.18)
.
O “truque” usual para resolver o (P V I) (xo ,y o ), definido por:
{
y ′ = a(x) y + b(x)
y(x o ) = y o
é o chamado método da variação das constantes. Neste método, começamos por determinar
uma solução arbitrária da equação homogénea:
y ′ = a(x) y (1.1.19)
como por exemplo:
u(x) = e∫ x
xo a(τ)dτ (1.1.20)
Em seguida, tentamos encontrar uma solução da equação não homogénea:
que seja da forma:
y ′ = a(x) y + b(x) (1.1.21)
y(x) = c(x)u(x) (1.1.22)
para alguma função desconhecida c (a “constante variável”). Substituindo (1.1.22) em (1.1.21),
obtemos:
c ′ u + u ′ c = acu + b
e portanto, usando (1.1.19):
c ′ = b u
Integrando esta última equação e usando (1.1.20) bem como a condição inicial, obtemos finalmente
a fórmula (1.1.17).
• Exemplo 1.1.4 ... Calcular a solução do (P V I) (xo,y o), definido por:
{
y ′ = −2x y − x
y(1) = 2