FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 99
isto é:
que é òbviamente integrável:
w = s ′ = F (r)
r 2
∫ F (r)
s = dr
Regressando às variáveis originais xu, como r = x e s = u x
r 2
(para x ≠ 0), vem:
∫ F (x)
u = x dx
• • Exercício 2.3.3 ... Considere a equação:
(E)...
– (i). Mostre que ξ = ∂
∂x + u ∂
x ∂u
x 2
u ′ = u x + x F ( u
x
)
, x ≠ 0
é simetria infinitesimal de (E).
– (ii). Calcule o grupo local a um parâmetro Φ τ = Φ ξ τ , e mostre directamente que ele é
simetria (finita) de (E).
– (iii). Calcule um factor integrante e integre a equação dada.
– (iv). Integre a mesma equação (E), usando agora “coordenadas canónicas” (relativas a
ξ.)
• • Exercício 2.3.4 ... Considere a equação:
– (i). Mostre que ξ = ∂
pontuais de (E).
(E)... u ′′ − (u′ ) 2
∂x
e η = x ∂
∂x − 2u ∂
∂u
u + u2 = 0
– (ii). Integre (E) usando o método dos “invariantes diferenciais”.
geram uma álgebra solúvel de simetrias
– (iv). Integre a mesma equação (E), usando agora “coordenadas canónicas” apropriadas
((r, s) tais que φ ∗ ∂ s = ξ).
Resolução ...
(i). Os prolongamentos de ξ e η a J 2 são dados por:
ξ (2) = ∂ x
η (2) = x∂ x − 2u∂ u − 3p∂ p − 4q∂ q
Com F (x, u, p, q) = q − p2
u + u2 , vem que:
ξ (2) F = ∂ x F = 0
η (2) F = (x∂ x − 2u∂ u − 3p∂ p − 4q∂ q )
= −4F
e portanto ξ = ∂
∂x e η = x ∂
∂x − 2u ∂
∂u
[ξ, η] =
(
q − p2
u + u2 )
são simetrias pontuais de (F ). Como:
[ ∂
∂x , x ∂
∂x − 2u ∂ ]
= ∂ x = ξ
∂u