FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 47
onde as respectivas componentes são determinadas pelo sistema de ODE’s, parametrizado
por s:
∂x
⎧⎪ ∂r (r; s) = x2 (r; s)
⎨ ∂y
∂r
(r; s) = x(r; s)y(r; s)
⎪
x(−1; s) = 1
⎩
y(−1; s) = s
Note que X(0, y) = 0 e que X(x, 0) = x 2 ∂
∂x
e portanto o campo não é transversal a qualquer
dos eixos. Como, por exemplo, X(1, y) = ∂
∂x + y ∂
∂y é sempre transversal à recta x = 1,
impômos as condições iniciais indicadas, que são as que simplificam mais os cálculos.
A primeira equação dá x(r; s) =
portanto x(r, s) = −1
r
Como s = y(−1; s) = d(s)
−1
r+c(s)
. Como 1 = x(−1; s) =
−1
∂y
−1
. A segunda equação dá então
∂r
(r; s) =
r
−s
, vem que d(s) = −s e portanto y(r; s) =
−1
resultado já deduzido antes:
φ(r, s) =
( −1
r , −s )
r
−1+c(s)
, vem que c(s) = 0, e
d(s)
y(r; s), donde y(r; s) =
r
r .
. Obtemos assim o
.
Se F : IR n → IR n é um difeomorfismo (local) e se X ∈ X(IR n ) é um campo de vectores em
IR n , define-se um novo campo de vectores F ∗ X ∈ X(IR n ), chamado a imagem de X por F (ou o
“push-forward” de X por F ), através de:
F ∗ X(y) = dF x (X(x)) , onde y = F (x) (1.7.24)
• Proposição 1.7.1 ... Se X ∈ X(IR n ) gera o grupo (local) a um parâmetro de difeomorfismos
Φ τ = Φ X τ , então o campo F ∗ X gera o grupo (local) F ◦ Φ τ ◦ F −1 :
Em particular, F ∗ X = X se e só se F ◦ Φ X τ = Φ X τ ◦ F .
Φ F ∗X
τ = F ◦ Φ X τ ◦ F −1 (1.7.25)
– Dem. ... ... Com efeito, designemos por τ ↦→ α x (τ), a única curva integral de X, que,
no instante τ = 0 passa em x. Então, como já vimos, α x (0) = x, Φ X τ (x) = α x (τ) e
α ′ x(τ) = X (α x (τ)). Vem então que:
d ( )
dτ F Φ X τ (x)
= d
dτ (F ◦ α x) (τ)
(
= dFα x(τ) α
′
x (τ) )
( ( ))
= dF Φ
X X Φ X
τ (x) τ (x)
( ( ))
= (F ∗ X) F Φ X τ (x)
(1.7.26)
( )
( )
e como F Φ X 0 (x) = F (x), concluímos que τ ↦→ F Φ X τ (x) é uma curva integral do
campo de vectores F ∗ X, que, no instante τ = 0, passa em F (x). Portanto:
F
( )
Φ X τ (x) = Φ F ∗X
τ (F (x)) ⇒ F ◦ Φ X τ = Φ F ∗X
τ ◦ F
.