FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 70
Cada D λ transforma a 1-faixa F m : p ↦−→ (a, b, p), p ∈ IR, de suporte m = (a, b), na 1-faixa
D λ ◦ F m dada por:
(
)
λp
p ↦−→ a + √ , b − λ
√ , p 1 + p 2 1 + p 2
cuja projecção no plano de configuração tem suporte na circunferência de equação (x − a) 2 +
(u − b) 2 = λ 2 , centrada em m e de raio λ (ver a figura 2.11).
Figure 2.11: Dilatação D λ .
.
2.1.3 Método de Lie-Jacobi, para gerar transformações de contacto
Vamos agora descrever um método, que se deve a Lie e Jacobi, para construir transformações de
contacto através de uma equação, dita equação directriz, no espaço de configuração.
Consideremos então uma transformação de contacto Φ : J 1 (IR; IR) → J 1 (IR; IR), que transforma
cada elemento de contacto c = (x, u, p) ∈ J 1 num outro elemento de contacto:
C = Φ(c) = (X = X(x, u, p), U = U(x, u, p), P = P (x, u, p)) ∈ J 1
Seja:
F m : α ↦−→ (x, u; p = α),
}{{}
α ∈ IR (2.1.31)
m
uma 1-faixa de contacto 4 suporte fixo m = (x, u). Recorde que isto significa que F m é uma curva
imersa em J 1 = IR 3 xup, que satisfaz a condição:
F ∗ m(du − p dx) = 0
Ambas as condições são óbvias neste caso, já que F ′ m(α) = (0, 0, 1) e x, u são constantes. Então
Φ(F m ) será também uma 1-faixa, porque Φ é uma transformação de contacto. Φ(F m ) é a curva
imersa, em J 1 = IR 3 xup, parametrizada por:
Φ ◦ F m : α ↦−→ (X(m; α), U(m; α), P (m; α)) (2.1.32)
(não esqueça que m = (x, u) está fixo). Vamos considerar as duas situações seguintes, conforme a
matriz Jacobiana da aplicação π ◦ Φ ◦ F m : α ↦→ (X(m; α), U(m; α)):
tenha característica 0 e 1.
4 ou variedade de Legendre de dimensão 1 em J 1 ...
J (m; α) = [X α U α ] (2.1.33)