FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy = 0 5
o que significa que o membro direito de (1.1.10) é uma função apenas de y, e portanto
h pode ser determinada por integração:
∫ y [ ∫ x ]
h(y) = Q(x, s) − P y (t, s) dt ds
y o x o
Finalmente obtemos:
f(x, y) = ∫ x
x o
P (t, y) dt + ∫ [
y
y o
Q(x, s) − ∫ ]
x
x o
P y (t, s) dt ds (1.1.11)
para um qualquer ponto arbitrário (x o , y o ) ∈ R.
Concluindo, se df = θ, então f tem necessàriamente a forma (1.1.11). Reciprocamente,
definindo f : R → IR, através de (1.1.11), para um qualquer ponto arbitrário (x o , y o ) ∈ R,
é imediato verificar que df = θ,
Atendendo à proposição 1.1.2, o problema da integração da equação θ = 0, pode ser considerado
resolvido se fôr possível determinar um integral f para a forma θ, o que, pelo Lema de Poincaré,
é sempre possível localmente, desde que a forma θ seja fechada. Neste caso, se se pretende uma
solução que contenha um dado ponto (x o , y o ), a solução geral (local) é obtida na seguinte forma
implícita:
f(x, y) = c
onde a “constante de integração” c, é determinada pela condição de que f(x o , y o ) = c.
• Exemplo 1.1.1 ... Calcular a solução geral da equação:
θ = (y cos x + 2xe y )
} {{ }
P (x,y)
dx + (sin x + x 2 e y + 2) dy = 0
} {{ }
Q(x,y)
.
Neste caso R = IR 2 e como:
P y = cos x + 2xe y = Q x
θ é fechada, logo exacta, pela proposição anterior. Se f satisfaz df = θ, então:
f x = P = y cos x + 2xe y e f y = Q = sin x + x 2 e y + 2 (1.1.12)
Integrando a primeira equação em ordem a x, obtemos:
f(x, y) = y sin x + x 2 e y + h(y)
Derivando relativamente a y, e usando a segunda equação em (1.1.12), vem que:
sin x + x 2 e y + h ′ (y) = f y = sin x + x 2 e y + 2
donde se deduz que h ′ (y) = 2, isto é, h(y) = 2y. Portanto:
f(x, y) = y sin x + x 2 e y + 2y
e a solução geral de θ = 0 é:
f(x, y) = y sin x + x 2 e y + 2y = c
c ∈ IR
.