PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

( )
n0
X
&&
t
()
135
PRECIZIA ROBOȚILOR INDUSTRIALI …
⎧ ( n0 )
( n0 )
J⎡θ () t ⎤⋅ &&
θ () t + J&⎡θ () t ⎤⋅
&
θ () t
⎫
⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎪
= ⎨ ⎬ . (4.18)
( n0 )
( n0 )
( n0 ⎪ )
2
J⎡θ () t ⎤⋅ &&
θ () t + JB⎡θ () t ⎤⋅⎡& θ ⋅
&
θ ⎤+ JC⎡θ () t ⎤⋅⎡&
θ ⎤ ⎪
⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭
Vectorii coloană (4.15) şi (4.18), cunoscuţi sub denumirea de ecuaţiile MCD, sunt incluşi în cadrul unei
expresii matriceale, care poate fi scrisă în două variante, aşa cum reiese mai jos:
( )
T
⎡ n 0 ( n) 0 ( n) 0
n 0
X
& ⎤ ⎡⎡ T T
v n ω ⎤ ⎤ ⎡ 0 J θ ⎤ ⎡&& θ ⎤
⎢ ⎥ ⎢⎣ n ⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ =
( n) ⎥ ⎢
0 T ⎥ = ⎢
( n) 0 T ( n) 0 T
( n) 0 ( n) 0 ⎥⋅⎢
⎥ ; (4.19)
X
&&
⎢ ⎥ ⎢⎡ v&
&
J
n ω ⎤ ⎥
n ⎢ ( θ ) J&(
θ ) ⎥ ⎢θ &
⎥
⎣ ⎦ ⎣⎢⎣ ⎦
⎦⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] ( ) ( )
⎡ T
⎡&& T T
( n0 )
( n) 0
θ
&
θ ⎤ ⎤
⎡ &
X⎤
⎡ [ 0] J( θ ) [ 0] [ 0]
⎤ ⎢ ⎣ ⎦ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ =
T
( n0 )
⎥ ⎢( n) 0 ( n) 0 ( n) 0 ⎥⋅⎢T
T ⎥ . (4.20)
&&
⎢ X⎥
⎢ J( θ) [ 0] J ( ) ( )
2
B θ JC
θ ⎥ ⎢⎡ ⎡ & ⎤
θ ⋅
&
θ ⎤ ⎡ &
θ ⎤ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥
⎣ ⎦ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
Ecuaţiile cinematicii directe exprimate în raport cu sistemul mobil {n} pot fi scrise sub o altă formă, în
funcţie de derivata în raport cu timpul a matricei Jacobiene. Această expresie de definiţie poate fi scrisă:
⎡ &&
n
θ ⎤
T
⎡ n n T n T
X
& ⎤ ⎡ ⎡ [ 0] J( θ ) [ 0]
⎤
⎡ v n ω ⎤ ⎤
⎢ ⎥
n
⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ &
θ ⎥
⎢ ⎥ = ⎢ T ⎥ = ⎢ n ∂ n ⎥⋅⎢⎥.
(4.21)
n && n T n T J( ) J( ) I6
n n
X
θ ⎡ θ ⎤
⎢ ⎥ ⎢⎡ v& &
n ω ⎤ ⎢ ⎥
n ⎥ ∂ t ⎣ ⎦ ⎢⎡ ωn×
v ⎤ n ⎥
⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦
⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢⎢ ⎥⎥
⎢⎣ ⎢⎣ [ 0]
⎥⎦
⎥⎦
Ecuaţia (4.21), împreună cu expresiile diferenţiale obţinute pe baza matricei Jacobiene şi a derivatei
sale în raport cu timpul, sunt cunoscute sub denumirea de ecuaţiile cinematicii directe. Legea de variaţie în
raport cu timpul a variabilelor generalizate este cunoscută, conform datelor de intrare.
Ecuaţiile cinematicii directe, împreună cu vectorul coloană al parametrilor de situare, definesc
mişcarea efectorului final al robotului în spaţiul cartezian.
4.3 Matricea Jacobiană bazată pe matricele de transfer
Expresia vitezei liniare şi respectiv a vitezei unghiulare, ce caracterizează mişcarea absolută a oricărui
elementului cinetic i = 1 → n , din structura mecanică a unui robot serial, pot fi scrise sub forma:
i
0 0 0 j
ωi ≡ ω0 + ∑Δ j ⋅q j ⋅ [ R] ⋅ k
j
j
j= 1
i
0 0
≡ ω0
+ ∑Δ
j ⋅q j ⋅ k j
j= 1
0
ωi ≡
0 0 j
kj⋅Δ j ≡ [ R] ⋅ k
j
j⋅Δ j j = 1→i ⋅ qj j = 1→i T
≡ Ω j j = 1→i ⋅ qj j = 1→i T
& & (4.22)
( ) ( ) ( ) ( )
& & ; (4.23)