PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

139
PRECIZIA ROBOȚILOR INDUSTRIALI …
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 T 0 0 T 0
n n n n n ⎣ ⎦ n n n n ⎣ ⎦ n n
− 0
− −
[ R] { ω × } [ R] = [ R] ⋅ ⎡R⎤⋅ [ R] ⋅ [ R] = [ R] ⎡R⎤⋅ [ R] ⋅ [ R]
& & . (4.48)
Efectuând transformările din identitatea matriceală (8.89), se obţine expresia de definiţie:
n
−
{ ω × } = [ ] ⋅ = [ ]
0 1 0 0 T 0
n n n n n
0 0
{ } { [ ]
n n }
R ⎡R&⎤ R ⎡R& n
0 −1
0 T
⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
; ωn
= vect [ R] ⋅ ⎡R&⎤ = vect R ⋅ ⎡R& ⎤
n ⎣ ⎦ n ⎣ ⎦
. (4.49)
Ţinând cont de toate aspectele prezentate, până acum, se poate concluziona că algoritmul matricei
Jacobiene, bazat pe aplicarea matricelor de transfer, are drept rezultat stabilirea ecuaţiilor cinematicii directe.
4.4 Matricea Jacobiană bazată pe matricele diferenţiale
În cadrul acestei secţiuni aplică matricele diferenţiale ale transformărilor omogene pentru
determinarea matricei Jacobiene în raport cu sistemul de referinţă fix şi respectiv mobil.
Matricea Jacobiană în raport cu sistemul fix { 0 } . Fiecare coloană ( 6 × 1)
inclusă în matricea
Jacobiană, precum şi în derivata, de ordinul întâi, în raport cu timpul, exprimate în raport cu sistemele de
referinţă{ 0} şi{ n } , pot fi determinate cu ajutorul expresiilor de mai jos:
( )
⎡ Ani p ⎤
0 ⎢ ⎥
n n 0 J i ≡ ⎢ 0 i ⎥ ; J i = R ⋅ J i
⎢ [ R] ⋅ k
i
i ⋅Δ i⎥
⎣ ⎦
⎡ 0 T
n [ R] =
⎢
⎢
⎢⎣ [ 0] [ 0]
⎤
⎥ 0
⋅ J i ;
0 T ⎥
[ R]
n ⎥⎦
(4.50)
⎡ n
⎤
⎢ ∑ Anij ( p) ⋅ q j ⎥
⎢ j= 1
⎥
⎡ 0 T
[ R] 0
J&
⎢ ⎥
n n 0
n
i ≡ ; J& ⎢⎧ i ⎫ ⎥
i = R ⋅ J& i =
⎢
⎢
⎢
⎪ ⎪ i
⎨∑Aij ( R) ⋅q j ⎬⋅
k ⎥ i ⋅Δ
⎢ [ ] i
⎣
0
⎢⎪⎩ j= 1 ⎪⎭
⎥
⎢⎣ ⎥⎦
[ 0]
⎤
⎥ 0
⋅ J&
i .
0 T ⎥ (4.51)
n [ R]
⎥⎦
unde n R reprezintă operatorul matriceal de transfer între sistemul fix { 0} şi sistemul mobil { n } .
De asemenea, matricea Jacobiană se poate determina prin apelarea expresiilor care exprimă diferenţiala
matricei de transformare omogenă şi respectiv matricea diferenţială de ordinul întâi:
0 0
{ [ T] θ () t } n [ T] θ () t
∑
{ }
⎧ ⎫
⎧⎪ dTn0 () t ⎫⎪ ⎪∂ ⎡
n ⎣
⎤
⎦ ∂ ⎡
n ⎣
⎤
⎦ ⎪ 0 0
⎨ dθ dq T i δ Tn [ T] θ () t
0 ⎬= ⎨ ⋅ ≡ ⋅ ⎬≡ ⋅ ⎡ ⎤
n
pt. X () t
θ i= 1 q
⎣ ⎦
;(4.52)
⎪⎩ ⎪⎭ ⎪ ∂
∂ i ⎪
⎩ ⎭
{ [ ] ⎡θ() ⎤}
[ ] θ − () [ ] θ − ()
0 0 i−1 i−1 ∂ T t ⎧
n T i 1 t Ui T
i 1 n
ni 1 t qi k ⎫
⎣ ⎦ ⎪ − ⎣
⎡
⎦
⎤ ⋅ ⋅ ⎣
⎡
⎦
⎤ L ⋅ i⎪
Ani ⎡
⎣θ() t ⎤
⎦ = ≡ ⎨ ⎬ ;(4.53)
∂ q
0 i
i
i
⎪ [ T] ⎡θi() t Ui [ T] θni()
t q
i ⎣
⎤
⎦ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤
n ⎣ ⎦
i ⋅ ki
⎪
⎩
L
⎭