PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

ALGORITMI DE CALCUL ÎN CINEMATICA ȘI DINAMICA ROBOȚILOR .
specialitate [N05] și [N22], sub denumirea de matricele diferențiale ale transformărilor omogene.
Operatorul matriceal de derivare parțială Uicker din expresia de definiție a matricelor diferențiale, este:
i
În expresia (2.125), { }
i
U
i
{ } ( )
⎡ i i
kix ⋅Δ i 1− Δi ⋅ k ⎤
= i
⎢ ⎥ . (2.125)
⎣ 0 0 0 0 ⎦
k x reprezintă matricea antisimetrică asociată versorului axei motoare.
2.2.4 Algoritmul Exponenţialelor de Matrice în cinematica directă
În cadrul acestei secţiuni va fi prezentat algoritmul exponenţialelor de matrice din cinematica directă,
dezvoltat în [N22]. Acest algoritm este utilizat în modelarea cinematică a roboților industriali pentru
determinarea matricei Jacobiene (matricea de transfer a vitezelor) și a derivatei acesteia de ordinul întâi în
raport cu timpul. Datele de intrare pentru acest algoritm sunt reprezentate de rezultatele obținute în urma
aplicării algoritmului exponenţialelor de matrice din geometria directă (MEG), prezentat în cadrul §2.1.4,
respectiv de funcţiile exponenţiale din cinematica directă. Etapele principale care trebuie parcurse în
aplicarea algoritmul exponenţialelor de matrice din cinematica directă (MEK), conform [N22] sunt:
1. Prima variantă a algoritmului constă în aplicarea directă a exponenţialei de matrice asupra celor
două componente ale matricei Jacobiene (componenta liniară
( 0)
J ( θ ) ). Astfel, rezultă expresia în formă exponențială a matricei Jacobiene:
iΩ
{ } T
T T
⎣ iv ⎦ ⎣ iΩ
⎦
( 0) ( ) 0 ( ) 0
J θ = ⎡ J θ ⎤ ⎡ J ( θ ) ⎤ { i = 1 → n}
78
( 0)
J ( θ ) și cea unghiulară
iv
; (2.126)
0
Jiv ( θ ) Ani ( p) i−1 ⎧ ( 0) exp ⎨∑{ k j } qj ⎫
j ⎬
( 0) vi n ⎧ ( 0) exp ⎨∑ kk qk ⎫
k ⎬
0
pn
j= 0 k= i
{ } ( )
⎣⎡ ⎦⎤
= = × ⋅Δ ⋅ + × ⋅Δ ⋅ +
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ i−1 n k 1
( 0) ⎫ ( ) ⎧ −
0 ⎪ ⎧ ⎧ ( 0)
⎫ ⎫
+Δi ⋅ exp⎨ { k j × } qj ⋅Δ j ⎬⋅
{ ki × } ⋅ ⎨ ⎨exp ⎨ { km × } qm⋅δ m⎬ ⋅bk
⎬;
⎩ j= 0 ⎭ ⎪⎩ k= i ⎩ ⎩m= i−1 ⎭ ⎭
∑ ∑ ∑ (2.127)
{ } ( )
( )
i 1
0 ( )
( ) 0 0
Ji θ exp
⎧ −
k j q
⎫
⎣
⎡
Ω ⎦
⎤= ⎨ ∑ × j ⋅ Δ j ⎬⋅
ki
⋅Δi
. (2.128)
⎩ j= 0
⎭
2. În această etapă de aplicare a algoritmului MEK, se deschide un ciclu exterior ( i = 1 → n)
.
În cadrul acestui ciclu se introduc următoarele matrice:
{ }
⎧ i−1 ( 0)
⎫
ME ( Vi1 ) = exp⎨ ∑ { k j × } qj
⋅ Δ j ⎬
( 3× 3) ⎩ j= 0
⎭ ; ( 0)
ME ( Vi2 ) = ⎡ I3 Δi ⋅ ki
× ⎤
( 3× 6)
⎢⎣ ⎥
; (2.129)
⎦