PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

PRECIZIA ROBOȚILOR INDUSTRIALI
Aplicând legea de variație a tensorului inerțial în raport cu axe concurente, se obține tensorul inerțial
al elementului ( iq ) relativ la un sistem cu originea în centrul maselor, având aceeași orientare cu { iDn } :
( , , ) iq [ ] iq [ ]
i * q * q * q iDn i * q iDn 1
iD jkD kjD i
I Matrix I I j 1 3 k 1 j R I R −
= = = → = → = ⋅ ⋅ . (5.6)
Tensorul inerțial
i **
iD
I al elementului real { ir } , se va calcula în raport cu sistemul cu aceeași orientare
cu { }
iDn , având originea în centrul maselor elementului nominal ( )
in , după cum urmează:
unde, { }
( ) { }{ }
** ** **
I = Matrix I = I ; j = 1→ 3, k = 1→ j = I + M ⋅ Δ r × Δ r × . (5.7)
i i i i r r i i
iD jkD kjD iD i CiD CiD
i
rC
iD
i
rC
iD
Δ × este matricea antisimetrică asociată vectorului
și (5.7), eroarea tensorului inerțial se stabilește cu ecuația matriceală:
( ; , )
T
i * q
I iD
Δ . Ținând seama de expresiile (5.6)
i *
IiD Matrix
*
I jkD
*
IkjD j 1 3 k 1 j
i *
IiD i *
IiD
*
jkD , ,
T
i *
xD
i *
yxD
i *
yD
i *
zxD
i *
zyD
i *
zD
T
Δ = Δ =Δ = → = → = − . (5.8)
unde, ⎡Δ I j = 1→ 3 k = 1→ j⎤ = ⎡ΔI −Δ I Δ I −Δ I −Δ I Δ I ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .(5.9)
Rezultatele obținute sunt incluse în matricea erorilor de tip DM relativ la sistemul de tip DH, de aceeași
orientare cu { iDn } , având însă originea în centrul maselor elementului nominal. Dimensiunea ei este
( n× 10)
iar forma este prezentată în continuare:
( )
* ⎡ i
T
i *
⎤
EDM =
⎡
M i rCI ⎤
⎢
Δ Δ Δ D , i 1 n
iD δ = →
⎣⎢⎣ ⎥⎦
⎥
; (5.10)
⎦
i * i * i * i * i * i * i *
Δ IδD= ⎡ IxD IyD IzDIxyD IyzD I ⎤
⎣
Δ Δ Δ Δ Δ Δ zxD ⎦
. (5.11)
Tensorul pseudoinerțial este aplicat în cadrul ecuațiilor dinamice Lagrange – Euler. Pentru modelarea
preciziei dinamice, eroarea tensorului pseudoinerțial trebuie cunoscută în raport cu sistemul { iDn } . De
aceea, tensorul inerțial
i q
I iD al elementului ( iq ) se calculează față de { iDn } , astfel:
( , , ) { }{ }
i q
IiD Matrix
q
I jkD
q
IkjD j 1 3 k 1 j
i q
IiD q
M i
i q
rCiD i q
rCiD
i q
i q
r C × reprezintă matricea antisimetrică asociată vectorului r
iD
C .
iD
unde, { }
= = = → = → = + × × (5.12)
Se scrie tensorul pseudoinerțial
i q
I p siD al elementului ( iq ) în raport cu sistemul { iDn } . Acesta
reprezintă o matrice pătrată de dimensiuni ( 4× 4)
, simetrică și pozitiv definită, având forma:
unde,
i q q q
psiD kjD jkD
( , , )
I = Matrix I = I j = 1 → 4 k = 1 → j
(5.13)
⎧ T
⎡ q
IkjD , j 1 4, k 1 j⎤
⎫
⎪ ⎣ = → = → ⎦ =
⎪
⎨ ⎬.
(5.14)
i q i q i q i q i q i q q i q q i q q i q q
⎪= ⎡ IxxIyx Iyy Izx Izy Izz ( M i ⋅ xCiD ) ( Mi⋅ yCiD ) ( Mi⋅ zCiD ) M ⎤
i ⎪
⎩ ⎣ ⎦⎭
T