PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

. PRECIZIA ROBOȚILOR INDUSTRIALI
( 0)
{ { i × } ⋅Δ }
⎡
A q exp k q i i i i b ⎤
i
e = ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 1 ⎥⎦
( 0)
, unde exp { i }
71
( 0)
{ k × } q
i i⋅Δi k × q ⋅Δ = e
(2.84)
{ i i}
⎡ i i i
( 0) ⎧ ( 0)
⎫ ⎤
⎧ i ⎫ exp{ { k j × } qj ⋅Δ j} ⎨ exp
exp
{ { kk × } qk ⋅ Δ k} ⎬ ⋅ bj+
1
Aj ⋅ qj
=
⎢ ∑
⎥
⎨ ∑ ⎬ j= 0 j= 0⎩
k= 0
⎭
⎩ j= 0 ⎭
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 1
⎥⎦
∏ ∏ . (2.85)
9. Utilizând (2.85), se determină inversa exponenţialei de matrice, astfel:
⎡ 0 0 j
( 0) ⎧ ( 0)
⎫ ⎤
⎧ ⎧ 0 ⎫⎫ exp{ − { k j × } ⋅qj ⋅Δ j} − exp
exp
{ − { kk × } qk ⋅Δ k} ⋅ bj
− Aj ⋅ qj
=
⎢ ∑⎨
⎬ ⎥
⎨ ⎨∑ ⎬⎬ j= i j= i k= i
j= i ⎢ ⎩ ⎭ ⎥
⎩ ⎩ ⎭⎭
⎢⎣ 0 0 0 1
⎥⎦
unde
∏ ∏ . (2.86)
10. Expresiile exponenţiale ce caracterizează matricele de situare şi care exprimă poziţia şi orientarea
sistemelor { }
n şi { n 1}
+ în raport cu sistemul { }
0 se obţin în forma prezentată mai jos:
⎧ x ⎫
⎪ Tx0 = ∏Tii
−1
⎪ ⎡ Rx0 ⎨ i= 1 ⎬ = ⎢0 0
⎪x { n; n 1}
⎪ ⎣
⎩ = + ⎭
0
n p⎤
⎧ ⎫ ( 0)
= ⎨ Ai ⋅qi ⎬⋅Tx0
1
⎥ ∑ ;
⎦ ⎩ i= 1 ⎭
(2.87)
( )
( )
exp{ { } } n
Rx0 0 0
= ∑ ki × qi ⋅Δ i ⋅ Rx0
; (2.88)
i= 1
{ }
n ⎧ ⎧ i−1 ( 0) ⎫⎫
n
( 0) ( 0)
p = ∑ ⎨exp⎨ ∑ { ki × } qj Δ j ⎬⎬bi
+ exp ∑ ⋅ { ki × } qi Δi
p δx
; (2.89)
i= 1 ⎩ ⎩ j= 0 ⎭⎭
i= 1
x
{ { ; } ; { ; } }
iar δ = 0 x = n 1 x = n + 1 . (2.90)
11. În vederea determinării inversei matricei definită cu (2.87), conform algoritmului prezentat în
[N12] – [N22], se utilizează următoarele expresii:
{ }
( )
{ } { }
⎡ T 1
1
T ( 0) ⎧ 0 ⎫ T ⎤
−1
−1
( 0)
⎧ ⎫ Rx0 = Rx0 ⋅exp − ∑ ki × qiΔ i −Rx0 ⋅ p
Tx0 = { Tx0 } ⋅exp Ai q ⎢ ⎨ ⎬ ⎥
⎨−∑ ⋅ i ⎬ =
⎩ i= n
⎭
⎩ i= n ⎭ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 1 ⎥⎦
unde,
{ } ( )
(2.91)
⎧ 1 ⎧ ⎧ 0
( 0) ⎫⎫ ⎧ 1
( 0) ⎫ 0 ⎫
exp { } exp
T ⎪− ∑⎨
⎨ ∑ ki × qjΔ j ⎬⎬bi − ⎨− ∑ { ki × } qiΔ i ⎬p
δx
⎪
−R i n j i 1 i n
x0 ⋅ p = ⎨ = ⎩ ⎩ = − ⎭⎭
⎩ =
⎭ ⎬ . (2.92)
⎪
iar δx
= { { 0; x = n} ; { 1; x = n + 1
⎪
⎩ } }
⎭
Observaţie: Algoritmul Exponenţialelor de Matrice, datorită avantajelor computaţionale şi independenţei
faţă de sistemele de referinţă, poate fi aplicat în cazul oricărei structuri de robot. Schema cinematică
pentru modelul geometric direct bazat pe exponențialele de matrice este prezentată în Figura 2.12: