PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

ALGORITMI DE CALCUL ÎN CINEMATICA ȘI DINAMICA ROBOȚILOR .
matricei Jacobiene şi a derivatei sale în raport cu timpul poate fi scrisă în forma:
⎡ n ( ) { n } [ ] 0
J θ ⎤ ⎡ME R 0 ⎤ ⎡ J ( θ ) ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
n ( )
⎢
[ ] { n ⎥
⋅ . (2.152)
⎢ } 0
Jɺ ⎥ ⎢
θ 0 ME R Jɺ
( θ ) ⎥
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢
⎣
⎥
⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
16. Se determină matricele diferenţiale de ordinul întâi şi doi, în formă exponențială,
corespunzătoare transformărilor de situare utilizând expresiile prezentate mai jos:
unde
⎧ i−1 k
⎪ ⎪⎧ ⎪⎪ ⎫⎫ ⎪⎧ ⎪⎧ ⎪⎪ ⎫⎫
( 0)
Aki = ⎨exp⎨ Aj ⋅q j ⎬⎬⋅ Ai ⋅⎨exp ⎨ Al ⋅ql ⎬⎬⋅Tk0
⎪⎩ ⎪⎩ j= 0 ⎪⎭ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎩ l= i ⎪⎭
⎪⎭
A
i
∑ ∑ ; (2.153)
i i i
{ k ⋅Δ × } { p × } k ⋅Δ + k ⋅( 1−
Δ )
Matricele diferenţiale de ordinul doi sunt definite astfel:
⎡ ⎤
i i i i i i i
= ⎢ ⎥ ; (2.154)
⎢⎣ 0 0 0 0 ⎥⎦
m−1 j−1 k
⎪⎧ ⎪⎧ ⎪⎪ ⎫⎫
⎪⎧ ⎪⎧ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎪⎪ ⎫⎫
( 0)
Akjm = ⎨exp⎨∑ Al ⋅ql ⎬⎬⋅ Am ⋅⎨exp ⎨∑ Ai ⋅qi ⎬⋅ Ai ⋅exp ⎨∑ Ap ⋅qp ⎬⎬⋅Tk0
;
⎩⎪ ⎩⎪ l= 0 ⎭⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎩⎪ i= m ⎭⎪
⎩⎪ p= i ⎭⎪
⎭⎪
(2.155)
unde,
⎡ i−1 ( 0) ⎧ i− 1 ⎫ ⎢∏exp{ { k j × } qj ⋅Δ j} exp⎨
∑ Aj ⋅ qj
⎬= ⎢ j= 0
⎩ j= 0 ⎭ ⎢
⎣
0 0 0
i−1 ⎧ i−1 ⎪ ( 0)
⎫⎪
⎤
∑ ⎨∏exp{ − { kk × } qk ⋅Δ k} ⎬ ⋅ bj+
1⎥
j= 0 ⎪⎩ k= 0
⎪⎭
⎥
1
⎥
⎦
. (2.156)
17. Pentru calculul vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare absolute, pe sistemul { i } , corespunzătoare
fiecărui element cinetic i = 1 → n al robotului, se utilizează următoarele expresii:
i
i 0 −1
( ) [ ] 0
ωi
= i R ⋅∑ J jΩ ⋅qɺ
j ; (2.157)
j= 1
i
i 0 −1
⎧ ⎫
ɺ ⎪ 0 0 ⎪
ω i =
i [ R] ⋅⎨∑ ( J jΩ ⋅ qɺɺ j + Jɺ jΩ ⋅qɺ
j ) ⎬ . (2.158)
⎪⎩ j= 1
⎪⎭
18. Ecuaţiile de mai sus includ vitezele şi acceleraţiile generalizate ale axelor motoare:
{ { ⎣ ⎦ } { ⎣ ⎦ } }
{ ⎡q j , j 1 i⎤ qk 0, k i 1 n ; i n} ; { ⎡qj , j 1 i n⎤
}
ɺ ( i) T
⎡qɺ j ; j 1 i⎤ [ qɺ k 0; k i 1 n] ; i n ; ⎡qɺ j ; j 1 i n⎤
; (2.159)
θ = = → = = + → < = → =
{ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ }
ɺɺ
θ = ɺɺ = → ɺɺ = = + → < ɺɺ = → = . (2.160)
( i) T
[ ]
19. Ţinând seama de pasul 16, vitezele şi acceleraţiile unghiulare absolute, pe sistemul fix { }
0 pot
fi definite cu ajutorul funcţiilor exponenţiale, după cum se observă din expresiile scrise mai jos:
⎧ ⎧ ⎫⎫
∑ ∑ ɺ ; (2.161)
⎪⎩ ⎩ ⎭⎪⎭
i j−1 0 ⎪ ⎪ ( 0) ⎪⎪ ( 0)
ωi
= ⎨exp ⎨ { kk × } ⋅qk ⋅ Δ k ⎬⎬ ⋅k j ⋅q j ⋅ Δ j
j= 1 ⎪k = 1
⎪
( )
{ M exp{ V } q M exp{
Vɺ } q } k
i
0
ωi
= ∑
j= 1
j1 ⋅ j + j1 ⋅ j ⋅
0
j ⋅ Δ j
ɺ ɺɺ ɺ ; (2.162)
20. Vitezele şi acceleraţiile liniare ale originii O i , corespunzătoare fiecărui element cinetic ( i ) , se
82