PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

PRECIZIA ROBOȚILOR INDUSTRIALI .
.
1 i−1 ( nT ) i−1 ( r)
Δ γz = ⋅ zi ⋅ xi , Δβx ≠ 0 ; (3.14)
Δβ
x
Δ γ =
( nT ) ( r)
zi ⋅ xi
. (3.15)
( ) ( )
z ⋅ y
i−1 i−1 z i−1 nT i−1 r
i i
Pe baza exemplului prezentat anterior se vor analiza toate cele douăsprezece matrice de rotaţie, în final
obţinându-se erorile unghiulare ( α , β , γ )
Δ Δ Δ corespunzătoare fiecărui set de rotaţii generalizate.
A B C
A. Determinarea erorilor unghiulare pentru setul de unghiuri ( αz−βy − γ x)
În determinarea erorilor unghiulare pentru cele douăsprezece seturi de unghiuri se pleacă de la
ipoteza infinitelor mici de ordin superior. În acest scop se consideră trei seturi de unghiuri:
= ( ; ; ) ; B = ( β ; γ; α)
; C = ( γ ; α; β)
A α β γ
Sunt evidente relaţiile următoare: ΔA⋅ΔB ≅ 0 , ΔA⋅ΔC ≅ 0 , ΔB⋅ΔC ≅ 0 , respectiv ΔA⋅ΔB⋅ΔC ≅ 0
Prin aplicarea ipotezelor simplificatoare menționate mai sus, produsul matriceal va deveni:
⎡ 1 −Δαz 0⎤
⎡ 1 0 Δβy
⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢Δαz1 0⎥
⎢ 0 1 0 ⎥⋅ ⎢0 1 −Δγ
x ⎥ =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 1⎦
⎣⎢−Δβy 0 1 ⎦⎥
⎣0 Δγ
x 1 ⎦
⎡ 1 Δβy ⋅Δγ x −Δαz Δ βy +Δγ x ⋅Δαz⎤ ⎡ 1 −Δαz ⎢ ⎥ ⎢
= ⎢ Δαz Δβy ⋅Δγ x ⋅Δ αz + 1 Δβy ⋅Δαz −Δγ x⎥ = ⎢ Δαz 1
⎢ ⎥ ⎢
⎢−Δβy Δγ x 1 −Δβy Δγ
x
⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ;
Δβy
⎤
⎥
−Δγ
x⎥
⎥
1 ⎥⎦
(3.16)
Se identifică termenii din (3.16) cu termenii corespunzători din matricea (3.10) rezultând sistemul:
⎧Δ α = ⋅
⎪
⎨Δ
β =− ⋅
⎪
⎪⎩ Δ γ = ⋅
i−1 nT i−1 r
z yi xi
i−1 nT i−1 r
( z x )
y i i
x
i−1 nT
zi i−1 r
yi
;
Pentru verificare, se mai pot scrie următoarele identităţi:
⎧Δβ ⋅Δγ −Δ α = ⋅
⎪
⎨Δ
β +Δγ ⋅Δ α = ⋅
⎪
⎪⎩ Δβ ⋅Δα −Δ γ = ⋅
y x z
i−1 nT
xi i−1 r
yi
y x z
i−1 nT
xi i−1 r
zi
y z x
i−1 nT
y i
i−1 r
zi
102
;
;
;
;
;
(3.17)
(3.18)
Pentru a demonstra identitatea de mai sus, se înlocuiesc expresiile ce caracterizează erorile
unghiulare Δ αz
, Δ βy
şi Δ γ x , din sistemul (3.17) în prima expresie a sistemului de ecuaţii notat cu