PRECIZIA ROBOŢILOR INDUSTRIALI

MODELAREA ERORILOR CINEMATICE .I.
()
()
∂
0
{ [ T] ⎡θ() t ⎤}
n
⎪⎧ dTn0 t ⎪⎫
n ⎣ ⎦ ⎧ 0 0
⎫
⎨ dθ δ T T n [ T] θ () t Ani θ () t dq
0 ⎬= ⋅ ≡ ⎨ ⋅ ⎡ ⎤ ≡ ⎡ ⎤ ⋅
n
i
ptr X t
θ
⎣ ⎦ ∑ ⎣ ⎦ ⎬
i= 1
⎪⎩ ⎪⎭
[ ]
. (4.54)
∂ ⎩ ⎭
Matricea diferenţială Ani θ () t este înlocuită prin expresia (4.53) în (4.54), astfel rezultând:
⎧ n
0 i−1 i−1 ⎪∑ [ T] ⎡θ i 1() t U i [ T] θni
1() t dqi, qi() t k i;
i−1 ⎣ − ⎤
⎦ ⋅ ⋅ ⎡
n ⎣ − ⎤
⎦ ⋅ ⋅
0 0 ⎪ i= 1
δ Tn⋅ [ T] ⎡ () t
n ⎣θ ⎤
⎦ = ⎨
; (4.55)
n
⎪ 0 i i
[ T] ⎡θ i() t U i [ T] θni()
t dqi, qi() t k
i ⎣
⎤
⎦ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ ⋅ ⋅
n ⎣ ⎦
i
⎪⎩
∑
i= 1
Expresia de mai sus se multiplică la dreapta cu inversa matricei de situare, scrisă sub forma:
[ ] θ () [ ] θ () , ()
⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
i−1 −1 0 −1 i−1 T ni 1 t T i 1 t qit k
0 −1 ⎪ n ⎣ − ⎦⋅ i−1 ⎣ − ⎦ ⋅ i
[ T] ⎡ ()
n ⎣θt ⎤
⎦ = ⎨ i −1 0 −1
i
[ T] ⎡θni () t ⎤⋅ [ T] ⎡θi() t ⎤,
qi() t ⋅ k
n i
i
⎪
⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ca urmare, se explicitează operatorul matriceal de diferenţiere al transformării omogene:
140
; (4.56)
⎧ n
0 0 −1 ⎪∑ [ T] ⎡θi 10() t Ui[ T] θi
10() t dqi, i−1⎣ − ⎤
⎦ ⋅ ⋅ ⎡
i−1⎣ − ⎤
⎦ ⋅
0 ⎪ i= 1
δ Tn
≡ ⎨ n
⎪ 0 −1 0 −1
[ T] ⎡θi0 () t ⎤ ⋅Ui⋅ [ T] ⎡θi0 () t ⎤ ⋅dqi, ⎪⎩
∑ i ⎣ ⎦ i ⎣ ⎦
i= 1
i−1 qi() t ⋅ ki;
;
i
qi() t ⋅ ki.
(4.57)
⎧ n
0 *
i−1 , ()
n
⎪∑
δ T ⋅dq i 1 i in cazul q i t ⋅ k
−
i
0 0 * ⎪ i= 1
δ Tn ≡ ∑ δ T ⋅dq i( i 1) i ≡
− ⎨ ;
n
i= 1 ⎪ 0 *
i
δ T ⋅dq i , in cazul q i() t ⋅ k
i
i
⎪⎩
∑
i= 1
(4.58)
0 *
În această ecuaţie, δ T
i(
i−1
) este un operator matriceal de diferenţiere ( 4× 4)
constituit din elementele
0
vectorului diferenţial de mişcare d Xni ⎡
⎣θni () t ⎤
⎦ , pentru fiecare axă ( i = 1→ n)
:
0 * 0 *
⎡ 0 0 −1 δ × d ⎤ ⎧
i−1 ,
0
i i−1 i i−1⎪ T θi 10 t U
i 1 i T θ
i 1
i 10 t qi t k
− ⎣
⎡ − ⎦
⎤⋅ ⋅
− ⎣
⎡ − ⎦
⎤ ⋅ i
δ Ti(
i−1) ≡⎢ ⎥≡⎨
. (4.59)
⎢ ⎥ 0 −1 0 −1
i
0 0 [ T] ⎡θi0 () t ⎤⋅Ui⋅ [ T] ⎡θi0 () t ⎤,
qi() t ⋅ k
⎣ ⎦
⎪
⎩ i ⎣ ⎦ i ⎣ ⎦
i
Operatorul matriceal de derivare parţială U i este substituit în ecuaţia (4.59) prin expresia de definiţie. După
( ) ( ) [ ] () [ ] () ()
efectuarea transformărilor matriceale rezultă expresiile:
i i
[ ] ⎡ ki i ki ( 1 i)
⎤ [ ] [ ]
⎧ 0 0 −1 0 −1
⎡ R p ⎤
i ×Δ ⋅ −Δ ⎡ R − R ⋅p
⎤ ⎫
0 0 1 i i i
i
⎪ −
i[ T] ⋅Ui⋅ i[
T]
= ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⋅⎢
⎥≡
⎪
⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪
⎪ ⎢⎣000 1⎥⎦ ⎣ 000 0 ⎦ ⎢⎣ 000 1 ⎥⎦
⎪
⎨ ⎬ ; (4.60)
0 i 0 0 i
0 −1 0 −1
⎪ ⎡ [ R] ⋅ ki× [ R] ⋅Δi [ R] ⋅ ki⋅( 1−Δi) ⎤ ⎡
i i i i[ R] −
i[
R] ⋅p
⎤
i ⎪
⎪ ≡⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎪
⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪
⎩ ⎢⎣ 000 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 000 1 ⎥⎦
⎭