Mechanismen und On-line Dosimetrie bei selektiver RPE Therapie

Kapitel 5: Material und Methoden _____________________________________________ 65
5.11 Modellrechnungen
5.11.1 Wärmeleitung lichtabsorbierender Strukturen
Um die Temperaturverteilung lichtabsorbierender Strukturen beschreiben zu können muß
die räumlich und zeitliche Entwicklung Temperatur T( r, t)
beschrieben werden. Sie kann
als Lösung der Wärmeleitungsgleichung (54) beschrieben werden. Dabei ist t die zeitliche,
und r die räumliche Koordinate, ρ die Dichte, CP die spezifische Wärmekapazität
und k die Diffusifität des Mediums. Da durch die Lichtabsorption Wärme hinzugeführt
wird, muß Gl. (54) um einen Quellterm q( r, t)
erweitert werden. Dieser Quellterm q( r, t)
entspricht der durch die Laserstrahlung extern zugeführten Wärmeenergiedichte pro Zeiteinheit.
Man erhält:
Zur Lösung der inhomogener Wärmeleitungsgleichung homogener Medien für einen
komplizierten Quelltern kann das Superpositionsprinzip angewendet werden. Es erlaubt
somit die Aufspaltung des Quellterms in einzelne separate Berechnungen. Die Lösung
ergibt sich aus des Summe der Einzelergebnisse. Der Green-Funktionen-Formalismus
gestattet die Rückführung der inhomogenen Wärmeleitungsgleichung für einen allgemeinen
Quellterm auf die Lösung für einen Quellterm, der in Ort und Zeit durch die
Dirac-Funktion δ( r– r')
δt ( – t')
gegeben ist. Die Lösung von Gl. (15) mit diesem Quellterms
ergibt mit den Randbedingungen
die Green-Funktion
g( r, t, r' t' , )
∂T(
r, t)
ρCP ------------------ – k∆T( r, t)
= q( r, t)
∂t
lim g( r, t, r' t' , ) = 0 ∀(
r≠r') t → t'
lim g( r, t, r' t' , ) = 0
r → ∞
1
3 2
8ρCp [ πkt ( – t')
] ⁄
r– r'
= ----------------------------------------------- exp – �--------------------- �
�4k( t – t')
�
(15)
(16)
(17)
. (18)
Damit läßt sich die Lösung von Gl. (15) für beliebige Quellterme q( r, t)
als Faltung mit
der Green-Funktion berechnen.
t
�
T( r, t)
= dt'
dr'g(
r, t, r' t' , )q( r', t')
0
∞
�
– ∞
2
(19)