Masterarbeit Corinna Harmening Raum-zeitliche Segmentierung ...

3.3 Segmentierung von geometrischer Information
Nach einer Schwerpunktreduktion der gemessenen Punkte
x ′ i = x i x (3.19)
y i ′ = y i y (3.20)
z i ′ = z i z (3.21)
berechnet sich die Scatter-Matrix wie folgt [Rao (1964), Ahn (2004)]:
⎡ ⎤
Σ S =
[
p ′ 1 p ′ 2 ... p ′ n
]
·
⎢
⎣
p ′T
1
p ′T
2
.
⎥
⎦
(3.22)
=
=
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
p ′T n
∑ n ∑ n ∑
⎤
i=1 x′2 i i=1 x′ iy i
′ n
i=1 x′ iz i
′ ∑ n ∑
i=1 x′ iy i
′ n ∑ n
i=1 y′2 i i=1 y′ iz i
′ ⎥
(3.23)
∑ n ∑
i=1 x′ iz i
′ n ∑
⎦
i=1 y′ iz i
′ n
i=1 z′2 i
⎤
Σ Sxx Σ Sxy Σ Sxz
Σ Sxy Σ Syy Σ Syz
⎥
⎦ . (3.24)
Σ Sxz Σ Syz Σ Szz
Die Scatter-Matrix stellt ein Maß für die Streuung der Punkte dar und kann nach einer
1
Normierung mit
n 1
(1999)].
als die VKM der Punkte verstanden werden [Bolton u. Krzanowski
Das Ziel einer PCA ist die Untersuchung der Varianz-Kovarianzstruktur von Zufallsvariablen,
die in Form von Linearkombinationen – den Hauptkomponenten – dargestellt
werden. Geometrisch können diese Linearkombinationen als ein neues Koordinatensystem
interpretiert werden, dessen Achsen in die Richtungen der maximalen Variationen
zeigen. Der Vorteil dieser neuen Darstellung liegt in einer einfacheren, da unkorrelierten
Beschreibung der Kovarianzstruktur [Johnson u. Wichern (2007)].
Für die Ebenenschätzung wird die PCA genutzt, indem zunächst mit Hilfe einer Spektralzerlegung
der Scatter-Matrix diese neuen Koordinatenachsen bestimmt werden:
Σ S = MΛM ′ , (3.25)
wobei sich die Modalmatrix M spaltenweise aus den Eigenvektoren zusammensetzt – der
Basis des neuen Koordinatensystems –, während die Spektralmatrix Λ eine Diagonalma-
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