Masterarbeit Corinna Harmening Raum-zeitliche Segmentierung ...

4.3 Räumliche Segmentierung
zifizieren. Die verschiedenen geometrischen Formen, die eine Quadrik annehmen kann,
stellen für ihre Anwendung in dieser Arbeit ein Problem dar: In Abbildung 4.21 (rechts)
ist die auf diese Art bestimmte besteinpassende Quadrik der Punktmenge S isub zu sehen.
Anders als erwartet, ergibt sich als besteinpassende Quadrik jedoch keine Ellipsoid- oder
Zylinderoberfläche, sondern ein – für die hier beschriebene Aufgabe ungeeignetes – Hyperboloid.
Soll dieser Ansatz weiter verfolgt werden, müsste z. B. mit Hilfe einer Restriktion
vermieden werden, dass die besteinpassende Quadrik eine ungeeignete Form annimmt.
Da es sich hierbei um eine nichttriviale Aufgabe der Formschätzung handelt und eine
Vertiefung dieses Themas den Rahmen dieser Arbeit übersteigen würde, wird der Ansatz
der Quadrikenschätzung nicht weiter verfolgt.
Alenya u. a. (2011) verwenden ein deutlich einfacheres mathematisches Modell zur Beschreibung
einer Oberfläche zweiten Grades:
z = ax 2 + by 2 + cx + dy + e. (4.13)
Da es sich hierbei – anders als bei 4.12 – um eine explizite Formulierung handelt, kann
zur Lösung des Ausgleichungsproblems ein Gauß-Markov-Modell verwendet werden. Diese
Vorgehensweise besitzt jedoch einen Nachteil: Bei einer solchen Formulierung wird nur
die Z-Koordinate als Messung aufgefasst, während die X- und Y-Koordinaten als deterministisch
angesehen werden [Shah (2006)]. Das allein könnte an dieser Stelle als gültige
Vereinfachung hingenommen werden, hinzu kommt jedoch, dass eine Minimierung der
quadratischen Distanz nur entlang der Z-Richtung erfolgt, was zu numerischen Instabilitäten
führt, wenn die zu bestimmende Oberfläche annähernd senkrecht im Raum steht.
Dieses Problem kann umgangen werden, indem in diesen Fällen vor Bestimmung der besteinpassenden
Oberfläche eine Hauptachsentransformation der Punktwolke durchgeführt
wird. In dem neuen Koordinatensystem erfolgt eine Minimierung entlang des zum kleinsten
Normalenwerts gehörenden Normalenvektors.
In Abbildung 4.22 ist das Ergebnis einer solchen Oberflächenschätzung zu sehen: Die
hellblau dargestellte Oberfläche approximiert die Punktmenge S isub ,während die besteinpassende
Oberfläche zweiten Grades der Punktmenge S isub ∩j in Grün eingefärbt ist. Im
Vergleich zur Vorgehensweise nach Drixler (1993) liefert das in Gleichung 4.13 angegebene
funktionale Modell für die hier zu lösende Aufgabe das deutlich plausiblere Ergebnis.
Da die Interpretation der X- und Y-Koordinaten als deterministische Werte an dieser
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