Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

Kapitel 7. Kinetische Gastheorie
7.3.4. Exkurs: Volumen eines Zustands im µ-Raum
Dazu betrachtet man ein freies Teilchen mit der Wellenfunktion
{︂ }︂ i
ψ ∼ exp {ik · r} = exp
ħ p · r =
3∏︁
j=1
{︂ }︂ i
exp
ħ p jx j . (7.3.19)
Befindet sich das Teilchen in einem würfelförmigen Volumen V = L 3 und fordert man
periodische Randbedingungen
so folgt:
{︂ {︂ }︂
i
exp
ħ p ! i
j(x j + L)}︂
= exp
ħ p jx j , (7.3.20)
{︂ }︂ i
exp
ħ p !
jL = 1 ⇒ p jL
ħ = 2πm j ; m j ∈ Z 0 ⇒ p j = 2πħm j
. (7.3.21)
L
Dann gilt für einen solchen Würfel mit V = L 3 :
Also
und somit
∆p = 2πħ
L = h L . (7.3.22)
(∆p) 3 L 3 = (∆p∆x) 3 = h 3 (7.3.23)
∆ µ ≈ d 3 r d 3 v ≈ (∆x) 3 (∆v) 3 =
(︃ )︃ 3
(∆x · ∆p)3 h
m 3 = . (7.3.24)
m
Bemerkung 7.3.6: Die obige Entropieformel [Gleichung (7.3.18)] ist noch immer nicht
völlig korrekt, da sie nicht mit dem 3. Hauptsatz verträglich ist. Die notwendige Korrektur
ist quantenmechanischer Natur (siehe Abschnitt 9.3.3).
◭
Die bis hierher entwickelte kinetische Theorie wurde erst nach der phänomenoligsch untersuchten
Thermodynamik formuliert. Daher bedient sie sich einiger im Rahmen letzterer
definierten Größen und Begriffe wie z. B. „Zustandsgrößen“, oder „thermodynamische
Potentiale“. Um diese in ihrer vollen Bedeutung zu erfassen ist es sinnvoll, die phänomenologische
Thermodynamik zu behandeln, was im folgenden Kapitel geschieht.
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