Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik - Theoretische ...

3.2. Der eindimensionale harmonische Oszillator
V(r)
V HO
|r|
Näherungsbereich
Abbildung 3.1: Potential des harmonischen Oszillators und Potentialnäherung
viele andere Potentiale in erster Näherung (lokal) beschrieben werden können (siehe
Abbildung 3.1).
Wir betrachten im Folgenden den eindimensionalen harmonischen Oszillator, also
Dann lautet die Schrödinger-Gleichung
iħ ∂ψ {︃
∂t = Ĥψ =
V(x) = k 2 x2 = 1 2 mω2 x 2 . (3.2.2)
∂ 2
2m ∂x 2 + 1 }︃
2 mω2 x 2 ψ. (3.2.3)
− ħ2
Mit einem Separationsansatz (vgl. Abschnitt 3.1) ψ(x,t) = Y(x)T(t) folgt:
⇒
⇒
iħY ∂T
∂t
iħ 1 T
= Ĥ(YT) = −
ħ2
2m T ∂2 Y
∂x 2 + 1 2 mω2 x 2 TY
∂T
∂t = − ħ2
2m
dT(t)
dt
1
Y
∂ 2 Y
∂x 2 + 1 2 mω2 x 2
! = const. = ħω
= −i E ħ T(t) ⇒ T(t) = c 1 exp
{︂− i }︂
ħ Et
vgl. Abschnitt 3.1
↓
= E
O. B. d. A. wähle c 1 = 1
↓
= exp
{︂− i ħ Et }︂
.
|: [Y(x) · T(t)]
Damit gilt
iħ ∂ψ
(︂
∂t = iħY∂T ∂t = iħY − i )︂
ħ E T = E · Y · T = Eψ. (3.2.4)
Bemerkung 3.2.1: Dieses Ergebnis gilt allgemein, wenn der Hamilton-Operator Ĥ nicht
explizit von der Zeit abhängt, also insbesondere das Potential V(r) zeitunabhängig ist.
Dann reduziert sich die Schrödingergleichung auf die Eigenwertgleichung Ĥψ = Eψ. ◭
Damit bleibt zu lösen
EY = − ħ2 ∂ 2 Y
2m ∂x 2 + mω2
2 x2 Y = ĤY. (3.2.5)
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